x x 1 1 x x 1 Bài toán 4Russia 19958 Cho dãy a a 1 a 2 th a mãn ỏ a m a 1 a a n

X x 1 1 x x 1 bài toán 4russia 19958 cho dãy a a 1

This preview shows page 35 - 38 out of 115 pages.

= x 0 + x 1 + 1 . x 0 x 1 Bài toán 4(Russia 1995[8]) : Cho dãy a 0 , a 1 , a 2 , · · · th a mãn: a m + a 1 = ( a + a ) + n m n 2 2 m 2 n v i m i s nguyên không âm m n v i m n . N u ế a 1 = 1, hãy xác đ nh a 1995 . L i gi i Ta có: a 2 m + a 2 m = 2 ( a 2 m + a 0 ) = 4 ( a m + a m ) , suy ra a 2 m = 4 a m a 0 = 0. Do v y ta s tính đ c ượ a 2 = 4 , a 4 = 16. T đó ta cũng có a 1 + a 3 = a 2 + a 4 = 10 nên a 3 = 9. 2 Ta s ch ng minh a i = i 2 v i m i i 1. Th t v y s d ng quy n p theo i . Gi s r ng ả ử ằ a j = j 2 v i j < i . Khi đó ta có v i m = i 1 , j = 1 thì: a 1 2 2 2 n = 2 ( a 2 n 2 + a 2 )− a n 2 = 2 a n 1 + 2 a 1 a n 2 = 2 ( n 2 n + 1 )+ 2 −( n 4 n + 4 ) = n . Do đó , ta có : a 1995 = 1995 2 . x
Image of page 35

Subscribe to view the full document.

Nh n xét : - Do dãy s là m t tr ng h p đ c bi t c a hàm s . Ta có th gi i bài ườ toán trên b ng cách cách s d ng ph ng trình hàm nh sau: ươ ư
Image of page 36
1 Chuy n dãy v hàm, ta có: f ( x + y ) + f ( x y f ( 2 x ) + f ( 2 y )), f ( 1 ) = 1 Cho x=y ta đ c ượ f ( 0 ) = 0 ) = 2 ( Cho y=0 ta đ c: ượ f ( 2 x ) = 4 f ( x ) . T đây suy d dàng suy ra f ( x ) = x 2 . Do v y: a n = n 2 . Nh ư v y: Ta có th chuy n bài toán t dãy v hàm và gi i bài toán đó b ng ph ng trình hàm. ươ V y ta có th sáng t o ra m t s đ toán v dãy d a theo theo m t s đ c tr ng c a hàm nh sau: ư ư 1. D a theo đ c tr ng c a hàm ư tuy n ế tính f ( x ) = ax f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) . Chuy n sang bài toán dãy s là: Xác đ nh dãy ( u n ) bi t ế u m + n = u m + u n , v i m i s nguyên không âm m, n ( m n ) , u 1 = a 0 2. D a theo đ c tr ng c a hàm lũy th a ư f ( x ) = x k , x > 0 là f ( xy ) = f ( x ) f ( y ) . Chuy n sang bài toán dãy s là: Xác đ nh dãy ( u n ) bi t ế u mn = u m . u n , v i m i s nguyên d ng m, n . ươ 3. D a theo đ c tr ng ư c a hàm mũ f ( x ) = a x , ( a > 0 , a ƒ= 1 ) f ( x + y ) = f ( x ) f ( y ) . Chuy n sang bài toán dãy s là: Xác đ nh dãy ( u n ) bi t ế u m + n = u m . u n , v i m i s nguyên d ng m, n . ươ 4. D a theo đ c tr ng ư c a hàm cos f ( x ) = cosx f ( x + y ) + f ( x y ) = 2 f ( x ) f ( y ) . Chuy n sang bài toán dãy s là: Xác đ nh dãy ( u n ) bi t ế u m + n + u m n = 2 u m . u n , v i m i s nguyên d ng m, n . ươ ... Bài toán 5(Shortlist 1994 [5]) . Cho dãy s { a n } xác đ nh b i a 1 = 1, a 2 = 2 và a n + 2 = 2 a n + 1 a n + 2 v i m i n > 1. Ch ng minh r ng v i m i m, a m a m + 1 cũng là m t s h ng c a dãy s . L i gi i Ta có a n + 2 = 2 a n + 1 a n + 2 Thay n b ng n-1, ta đ c ượ a n + 1 = 2 a n a n 1 + 2 Tr hai đ ng th c v ế theo v , ế ta đ c ượ a n + 2 3 a n + 1 + 3 a n a n 1 = 0 Ph ng trình đ c tr ng: ươ ư x 3 3 x 2 + 3 x 1 = 0 có nghi m b i 3 x 1 , 2 , 3 = 1 nên ta có nghi m t ng quát a n có d ng a n = an 2 + bn + c .
Image of page 37

Subscribe to view the full document.

Image of page 38
  • Fall '19

What students are saying

  • Left Quote Icon

    As a current student on this bumpy collegiate pathway, I stumbled upon Course Hero, where I can find study resources for nearly all my courses, get online help from tutors 24/7, and even share my old projects, papers, and lecture notes with other students.

    Student Picture

    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    I cannot even describe how much Course Hero helped me this summer. It’s truly become something I can always rely on and help me. In the end, I was not only able to survive summer classes, but I was able to thrive thanks to Course Hero.

    Student Picture

    Dana University of Pennsylvania ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    The ability to access any university’s resources through Course Hero proved invaluable in my case. I was behind on Tulane coursework and actually used UCLA’s materials to help me move forward and get everything together on time.

    Student Picture

    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern

Ask Expert Tutors You can ask 0 bonus questions You can ask 0 questions (0 expire soon) You can ask 0 questions (will expire )
Answers in as fast as 15 minutes