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Uma opção para resolver este problema é ordenar o conjunto e aí tomar o máximo elemento, o que pode ser feito em O (n log n). Outra possibilidade mais barata seria ir selecionando o máximo elemento do conjunto até termos usado n/2 elementos. Não é difícil de ver que nenhum outro algoritmo é melhor que este, já que obrigatoriamente n/2 elementos devem ser usados (pela definição). Contudo, existe um algoritmo melhor se não exigirmos que a solução esteja 100% correta. Tomemos dois elementos x e y quaisquer do conjunto. Assuma x y. A probabilidade de que x seja maior ou igual a n/2 elementos é ½. A probabilidade de que x seja menor do que n/2 elementos é < ½. 1 Então, a probabilidade de que x e y sejam menores que n/2 elementos é < ¼. Ou seja, a probabilidade de que ou x ou y seja maior 1 Se há muitos elementos iguais à mediana, a probabilidade é > 1/2. Um número é a mediana de um conjunto se metade dos outros é menor do que ele e metade é maior. 13
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do que n/2 elementos é 3/4. Se y for, x também será, já que x y. Então, a probabilidade de x ser n/2 elementos é ¾. Tomando k números e selecionando o máximo dentre eles, digamos w, a probabilidade de que w seja maior ou igual a n/2 elementos é 1 - 1/2 k . Se usarmos k = 100, a probabilidade de w não estar na metade superior do conjunto será quase 0. Observe que precisamos fazer k - 1 comparações para achar w, o que independe de n. Este tipo de algoritmo é chamado algoritmo de Monte Carlo . Ele pode dar o resultado errado mas a probabilidade é mínima. Um outro tipo de algoritmo é chamado de Las Vegas . Este tipo sempre retorna um resultado correto e possui um tempo de execução (Complexidade) esperado (leia-se médio ) baixo. Contudo, ele pode demorar um tempo arbitrariamente longo para executar. 2.1 Exercícios 23 (1) Qual a complexidade da função abaixo em função de n, no pior caso? int f (int n, int v[], int a) // n 0, 1 a n, n é o tamanho do vetor { int b = n/a; int i = 1, s = 0; while ( --a 0 && --b 0) { i++; s += v[a]; } return s; } 24 Qual a complexidade do algoritmo abaixo, em função de n ? Observe que a função f do exercício anterior é utilizada. A chamada de função binSearch(a, v, k) faz uma busca binária por a no vetor v de k elementos. int g( int a, int n, int v[] ) // v possui n elementos { int k = f(n, a); return binSearch( a, v, k ); } 25 Faça um algoritmo cuja complexidade seja O( n log ) 26 Faça um algoritmo cuja complexidade seja O(n n ) 27 (4) Calcule as complexidades dos algoritmos abaixo. 14
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a) // assuma que a entrada seja o vetor i = 1; while i <= n and v [ i ] < m do i = i + 1; b) // assuma que a entrada seja duas matrizes n x n, A e B. Cuidado! for i = 1 to n do for j = 1 to n do begin soma = 0; for k = 1 to n do soma = soma + A [ i, k ] B [ k, j ] ; C [ i, j ] = soma; end c) um algoritmo que soma os k primeiros elementos de uma lista, k = mínimo(3, número de elementos da lista).
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