[复变函数与积分变换].焦红伟&尹景本.文字版.PDF.pdf

4 1 2 d d d c c c f z z f z z f z z c 由 1 c 与 2 c

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= − (4) 1 2 ( )d ( )d ( )d C C C f z z f z z f z z = + ( C 1 C 2 C 首尾相接而成 ) (5) L 为曲线 C 的长度,若 ( ) f z 沿 C 可积,且在 C 上满足 ( ) f z M ,则 ( )d ( ) d C C f z z f z s ML (3 . 2) (3 . 2) 提供了一种估计复变函数积分的模的方法. 到现在为止,计算复变函数积分只有两种方法,一是定义,二是式 (3 . 1) .有无其他方 法呢? 由于积分路径常取光滑曲线 ( 或逐段光滑曲线 ) ,所以 ( ) f z 沿曲线 C 的积分可归结为 [ ] ( ) f z t 关于曲线 C 的参数的积分.
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3 复变函数的积分 · 43 · · 43 · 事实上,若 C 为光滑曲线 ( 或逐段光滑曲线 ) ( ) ( ) i ( ),( ) z z t x t y t t α β = = + ≤ ≤ ( ) z t [ ] , α β 上连续,且 ( ) ( ) i ( ) 0 z t x t y t = + .再设 ( ) f z C 上连续及 [ ] [ ] [ ] 1 1 ( ) ( ), ( ) i ( ), ( ) ( ) i ( ) f z t u x t y t v x t y t u t v t = + = + 于是 [ ] [ ] { } [ ] [ ] { } [ ][ ] [ ] 1 1 ( )d d d i d d ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) d i ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) d ( ) i ( ) ( ) i ( ) d ( ) d C C C f z z u x v y v x u y u x t y t x t v x t y t y t t v x t y t x t u x t y t y t t u t v t x t y t t f z t t β α β α β α β α = + + = + + = + + = (3 . 3) 这样一来,便将 ( ) f z 沿曲线 C 的积分归结为 ( ) f z 关于曲线 C 的参数 t 的积分.