Volviendo a usar la regla de la cadena podemos cal

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Volviendo a usar la regla de la cadena, podemos cal- cular las derivadas X'(z) e Y'(z) sin un conocimiento explícito de X(z) e Y(z). Introduzcamos para ello dos nuevas funciones f y g por medio de las ecuaciones fez) = F[X(z), Y(z), z] y g(z) = G [X(z), Y(z), z]. Entonces fez) = g(z) = O para todo z de (a, b) y por tanto las derivadas I'(z) y g'(i) también son cero en (a, b). Con la regla de la cadena esas derivadas se expresan con las fórmulas 1'(z) = oF X'(z) + oF Y'(z) + oF , ox oy oz g'(z) = oG X'(z) + oG Y'(z) + oG . ox oy· oz Puesto que I'(z) y g'(z) son ambas cero podemos determinar X'(z) e Y'(z) resol- viendo el siguiente sistema de ecuaciones lineales: oF X'(z) + oF Y'(z) = _ oF , ox oy oz oG X'(z) + oG Y'(z) = _ oG . ox oy oz En aquellos puntos en los que el determinante del sistema no es nulo, el sistema tiene una sola solución que, mediante la regla de Cramer, se puede expresar así: oF oF oF oF - - - - oz oy ox oz oG oG oG oG - - - - X'(z) = - oz oy y'(z) = - ox oz (9.24) oF oF oF oF - - - - ox oy ox oy oG oG oG oG - - - - ox oy ox oy
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Ejercicios resueltos 363 Los determinantes que aparecen en (9.24) son determinantes de matrices de J acobi y se llaman determinantes jacobianos. Con frecuencia se emplea una nota- ción especial para los determinantes jacobianos. Escribimos Oil Oil oX 1 oX 2 OUl , ... ,fn) = det 0(x 1 , ••• , x n ) oin oin oX 1 oX 2 Con esta notación, las fórmulas (9.24) pueden expresarse más brevemente en la forma (9.25) X'(z) = o(F, G)/o(y, z) , o(F. G)/o(x, y) Y'(z) = o(F, G)/o(z, x) . o(F, G)/o(x, y) (El signo menos se ha incorporado a los numeradores permutando las columnas.) El método se puede extender a casos más generales en los que se dan m ecua- ciones con n variables, siendo n > m obteniéndose m variables en función de las n-m restantes. Las derivadas parciales de las nuevas funciones así defini- das se pueden expresar como cocientes de determinantes de [acobi, generalizando así (9.25). En el ejercicio 3 de la sección 9.8 se da un ejemplo en el que m = 2 Y n = 4. 9.7 Ejemplos resueltos En esta sección ilustramos algunos de los conceptos de la anterior resolviendo algunos problemas relativos a funciones definidas implícitamente. EJEMPLO 1. Supongamos que la ecuación g(x, y) = O determina y como función derivable de x, sea ésta y = Y(x) para todo x en un cierto intervalo (a, b). Expresar la derivada Y'(x) en función de las derivadas parciales de g. Soiución. Sea G(x) = g[x, Y(x)] para x en (a, b). Entonces la ecuacion g(x, y) = O implica G(x) = O en (a, b). En virtud de la regla de la cadena tenemos G'(x) = og . 1 + og Y'(x), ox oy
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364 Aplicaciones de cálculo diferencial de la que obtenemos (9.26) Y'(x) = _ og/ox og/oy en los puntos x de (a, b) en los que og/oy =i= O. Las derivadas parciales og/ox y og/oy vienen dadas por las fórmulas og/ox = D1g[x, Y(x)] y og/oy = D 2 g [x, Y(x)]. EJEMPLO 2. Cuando se elimina y entre las dos ecuaciones z = f(x, y),y g(x, y) = O, el resultado puede expresarse en la forma z = h(x). Expresar la deri- vada h'(x) en función de las derivadas parciales de f y g.
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