3 exercice 19 calculer lim u integraldisplay 3 u u

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Exercice 19 – Calculer lim u 0 integraldisplay 3 u u cos x x d x et lim u 0 + integraldisplay 2 u u sin x x 2 d x Exercice 20 – Soit, pour x R , f ( x )= integraldisplay sin 2 x 0 Arcsin t d t + integraldisplay cos 2 x 0 Arccos t d t . Montrer que f est constante, puis expliciter f . Exercice 21 – Soit f une fonction continue sur [ a, b ] telle que : t [ a, b ] , f ( a + b t )= f ( t ) . 1. Trouver une relation simple entre integraldisplay b a tf ( t ) d t et integraldisplay b a f ( t ) d t . 2. En déduire la valeur de : integraldisplay π 0 x sin x 1+cos 2 x d x . Exercice 22 – Pour une fonction f continue sur ] a, b [ , on note integraldisplay b a f ( t ) d t la limite lorsque x tend vers a + et y vers b de integraldisplay y x f ( t ) d t , lorsque cette limite existe. En considérant integraldisplay π 2 0 ln(sin(2 t )) d t , déterminer integraldisplay π 2 0 ln(sin( t )) d t . Exercice 23 – Résoudre sur tout intervalle ouvert non vide I de R les équations différentielles suivantes, d’inconnue y : x mapsto→ y ( x ) , à valeurs dans R . 1. (1+ x 2 ) y 2 xy =1 2. (1 x 2 ) y y =0 3. xy + y ln | x | =0 4. y (1+ x 2 )Arctan( x )+ y = x 5. y ( x +1)( y +1)=0 . 6. y = | y | sur R 7. xy = | y 1 | sur R + 8. 2 x e y y + e y x 2 =0 9. y = x +1 x 2 y 2 y x ln parenleftBig y x parenrightBig Exercice 24 Soit a et b deux fonctions continues telles que a greaterorequalslant 1 sur R . 1. Montrer que si lim x + b ( x )=0 , alors toute solution de l’équation différentielle y + a ( x ) y = b ( x ) vérifie lim x + y ( x )= 0 . 2. Montrer que si b greaterorequalslant 0 et lim x →−∞ b ( x ) = 0 , alors il existe une et une seule solution de l’équation y + a ( x ) y = b ( x ) telle que lim x →−∞ y ( x )=0 . Que peut-on dire des limites des autres solutions ? La deuxième propriété reste vraie sans l’hypothèse de positivité sur b , mais cela nécessite l’utilisation de quelques argu- ments liés à l’étude des intégrales impropres. Exercice 25 – Trouver toutes les applications f de R dans R , dérivables, et telles que : x R , f ( x )= f ( x )+ integraldisplay 1 0 f ( t ) d t et f (0)=1 . Exercice 26 – Déterminer les solutions des ED suivantes d’inconnue y , de la variable réelle x . 1. y ′′ 3 y +2 y =e x x 1 , avec y (0)= y (0)=0 2. y ′′ + y + 1 2 y =sin( x ) , avec y (0)= y (0)=0 .
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  • Fall '19
  • Mathématiques, Fonction trigonométrique, Continuité, Lycée Louis-le-Grand

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