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D o algoritmo de monte carlo visto anteriormente que

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d) o algoritmo de Monte Carlo visto anteriormente que encontra um elemento x em uma lista tal que x é maior do que metade dos elementos da lista. 28 (4) Simplifique: (a) O (n) + O (n 2 ) + O (n 3 ) (b) O (n 2 ) + O (n log n) (c) O (1) + O (n) (d) O (n 2 . 81 ) + O (2 n ) 29 (1) Simplifique: (a) O (2 2n ) + O (n 3 ) + O (2 n ) (b) O (n!) + O (2 n ) 15
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3 Indução Finita Indução finita é uma técnica de provar teoremas também usada no projeto de algoritmos. Suponha que queiramos provar um teorema T que possua um parâmetro n. Para provar que T é válido para qualquer valor de n, n >= 1, provamos que: 1 - T é válido quando n = 1; 2 - Se T for válido para n - 1, então T será válido para n. 1 é chamado de base. A prova de que esta técnica funciona é óbvia: T é válido para 1 pela regra 1, para 2 pela regra 2, para 3 pela regra 2, ... A suposição de que T é válido para n - 1 é chamada “Hipótese de Indução” (HI). Vejamos alguns exemplos: Hipótese: Sendo S n = 1 + 2 + 3 + … + n, então S n = n (n + 1)/2 Prova: Para n = 1, S 1 = 1 e S 1 =1 (1+ 1)/2 = 1, o que prova a hipótese. Suponha que a hipótese é válida para n - 1, isto é, S n-1 = (n - 1) (n - 1 + 1)/2 = (n - 1) n/2. Provaremos que ela é válida para S n . Sendo S n = S n-1 + n então S n = (n - 1)n/2 + n = (n 2 - n + 2n)/2 = = n (n + 1)/2 o que prova a hipótese. qed. Hipótese: x n - y n é divisível por x - y para todos os números naturais x, y, n. Para n = 1, x 1 - y 1 é trivialmente divisível por x - y. Suponha que a hipótese seja válida para n - 1, isto é, x - y divide x n - 1 - y n - 1 2200 x, y. Reescrevendo x n - y n , temos: x n - y n = (x n - 1 - y n - 1 ) (x + y) - xy (x n - 2 - y n - 2 ) divisível por divisível por x - y x - y Como o lado direito é divisível por x - y por hipótese, o lado esquerdo também o é. qed. Até agora utilizamos o seguinte princípio de indução: se uma hipótese T, com um parâmetro n, é verdadeiro para n = 1 e para cada n 1 a verdade de T para n - 1 implica que T é verdadeiro para n, então T é verdadeiro para todo n Ν . De fato, existem vários tipos de indução diferentes deste: 1. pode-se considerar que T é verdade para valores k entre 1 e n - 1 e então provar a validade para n; 2. pode-se considerar um caso base quando n = m, m uma constante, assumir que T é válido para n e então provar a validade para n - 1. 1 m 1 . n = m 2 . n n - 1 16
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3. pode-se entender o caso base para mais de um valor como n = 1 e n = 2. Assumindo que T é verdade para n - 1 e n - 2, prova-se que T é verdade para n; 4. pode-se assumir que T é válido apenas para um subconjunto de n, como os números pares (ou primos, ou divisíveis por 5). O caso base seria n = 2 e a hipótese de indução seria “T é válido para n - 2, n par”. Outro caso seria “T é válido para potências de 2”, que são 1, 2, 4, 8,… A hipótese de indução seria “T é válido para n/2 = 2 k - 1 ” e então tentaríamos provar T para n = 2 k . Neste caso poderíamos aplicar outra indução para provar que T é válido entre 2 k - 1 e 2 k .
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What students are saying

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    As a current student on this bumpy collegiate pathway, I stumbled upon Course Hero, where I can find study resources for nearly all my courses, get online help from tutors 24/7, and even share my old projects, papers, and lecture notes with other students.

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    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

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    I cannot even describe how much Course Hero helped me this summer. It’s truly become something I can always rely on and help me. In the end, I was not only able to survive summer classes, but I was able to thrive thanks to Course Hero.

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    Dana University of Pennsylvania ‘17, Course Hero Intern

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    The ability to access any university’s resources through Course Hero proved invaluable in my case. I was behind on Tulane coursework and actually used UCLA’s materials to help me move forward and get everything together on time.

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    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern