Pour lever lindétermination sur wr on pose b 0 Condition dadhérence wa 0

Pour lever lindétermination sur wr on pose b 0

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Pour lever l’indétermination sur w(r) , on pose b =0 Condition d’adhérence : w(a) =0 Condition limite : 2 2 2 2 ( ) ( )= ( ) 4 max p r w r a r w 1 L a avec 2 = ( )= 4 max p w w 0 a L 7
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A. HIFDI : Cours de Mécanique des fluides en S6 CH III – Solutions exactes de Navier- Stokes = d v S Q V n S  d d r r a z n e d S Débit volumique: 2 0 0 = d d a v Q w(r ) r r 4 4 = = ( =2 ) 8 128 v p p Q a D ; D a L L C’est la loi de Poiseuille pour un écoulement d’un fluide visqueux en conduite: le débit est proportionnel à la chute de pression linéique, à la quatrième puissance du diamètre (ou du rayon) et inversement proportionnel à la viscosité. : vitessemoyenne.Onremarqueque: 2 2 = = = =2 8 v v max Q Q p V a w V S L a On peut donner p en fonction du débit Q v ou de : V = 8 = 8 v 2 Q V p L L S S     2) Ecoulement entre deux cylindres coaxiaux: Ecoulement de Taylor-Couette. Ecoulement Laminaire instationnaire d’un fluide visqueux incompressible compris entre deux cylindres coaxiaux de rayons a et b ( a< b ) tournant autour de leur axe z avec des vitesses angulaires respectives a et b . b a z b a 8
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A. HIFDI : Cours de Mécanique des fluides en S6 CH III – Solutions exactes de Navier- Stokes L’écoulement est de révolution autour de l’axe z et les trajectoires sont circulaires : ( ) V = ve = r r e L’équation de continuité est satisfaite: 1 v V div = =0 En négligeant les forces de volume, l’équation de Navier-stokes obtenue pour un fluide newtonien incompressible donne: (8) (9) (10) 2 2 1 0 0 v p r r p v r r p z    1 w r r r r ( )- L’écoulement étant de révolution, la pression doit être uniforme et par conséquent: p θ =0 L’équation (10) donne: p=p ( r ) et l’équation (9) se réduit à: 0 (11) v r ∂v ( r ) ∂r ∂r - 3 (11) 0 r v r v v r r r r r r ( )- = ( ) = B v=Ar+ r Conditions aux limites : et ( )= ( )= a b v a v b 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 1 = r b a a b a ω a b ω ω v r b a b a A et B sont des constantes 9
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A. HIFDI : Cours de Mécanique des fluides en S6 CH III – Solutions exactes de Navier- Stokes Cas particuliers : et tandis que = - a b a b h=cte   v : champ de vitesse de l’écoulement de Couette plan = = a b ω ω v = rω v : champ de vitesse d’un mouvement de rotation en bloc du fluide et (supressionducylindreextérieur) =0 b b   2 = r a v v : champ de vitesse d’un écoulement bidimensionnel tourbillonnaire irrotationnel Moment des forces de viscosité s’exerçant les cylindres( forces tangentielles): 2 2 2 2 2 2 ( ) 1 r a b a bω ω = r =- r b a v r r ( ) 2 2 2 2 4 ( ) 2 b a a z z a bω ω = a a e = e r=a r b a 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 1 = r b a a b a ω a b ω ω v r b a b a
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  • Fall '16
  • Liquide, Viscosité, Mécanique des fluides, Tuyau, Cylindre

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