Para obtener la funci\u00f3n de transferencia pulso del controlador PID digital la

Para obtener la función de transferencia pulso del

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Para obtener la función de transferencia pulso del controlador PID digital, la ecuación anterior se debe llevar a su forma discreta. Al aproximar el término integral mediante la sumatoria trapezoidal y el término derivativo mediante la diferencia de dos puntos. A continuación se obtendrá la función de transferencia del integrador discreto y de la derivada discreta. Para esto hay que observar la figura 2.9. Función de transferencia del integrador discreto (Discrete_PID.pdf) y ( t ) dt = y ( k ) ≈ y ( k 1 ) + f ( k ) + f ( k 1 ) 2 T y ( k ) y ( k 1 ) = T 2 [ f ( k ) + f ( k 1 ) ] Usando la propiedad de desplazamiento de las transformada Z 16
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Z { x ( k n ) } = z X ( z ) Donde Z { x ( k ) } = X ( z ) Se puede calcular la transformada Z, la cual es: Y ( z )− z 1 Y ( z )= T 2 [ F ( z )+ z 1 F ( z ) ] Y ( z ) [ 1 z 1 ] = T 2 F ( z ) [ 1 + z 1 ] Entonces la función de transferencia del integrador discreto es: Función de transferencia del derivador discreto y ( k ) = f ( k ) f ( k 1 ) T Calculando la transformada Z se tiene: F ( z ) z F ( z ) ¿ Y ( z )= [ ¿¿ T ] = F ( z ) [ 1 z 1 T ] Entonces la función de transferencia del derivador discreto es: 17
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Función de transferencia del controlador PID digital Considerando las funciones de transferencia del integrador y del derivador se puede tener la función de transferencia del controlador PID digital realizando la suma de todas las funciones de transferencia. Entonces se tiene: M ( z ) E ( z ) = K [ 1 + T 2 T i ( 1 + z ) ( 1 z 1 ) + T d T ( 1 z 1 ) ] Expandiendo el segundo término en fracciones parciales, esta ecuación se puede re- escribir como: M ( z ) E ( z ) = K [ 1 T 2 T i + T T i 1 ( 1 z 1 ) + T d T ( 1 z 1 ) ] M ( z ) E ( z ) = K KT 2 T i + KT T i 1 ( 1 z 1 ) + KT d T ( 1 z 1 ) M ( z ) E ( z ) = K P + K I ( 1 z 1 ) + K D ( 1 z 1 ) Donde 18 Figura 2.9: Diagrama que muestra la función discreta f(k)
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K P = K KT 2 T = K K I 2 = ganancia proporcional K I = KT T = ganancia integral K D = K T d T = ganancia derivativa Nótese que la ganancia proporcional K P para el controlador PID digital es más pequeña que la ganancia K para el controlador PID analógico por un factor de K I /2. La función de transferencia pulso para el controlador PID digital se convierte en 19 G D ( z ) = M ( z ) E ( z ) = K P + K I ( 1 z 1 ) + K D ( 1 z 1 )
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ANEXO (Design discrete tieme controller) Integración numérica Se estudiarán formas diversas de lograr la integración numérica a fin de obtener la función de transferencia de un integrador. Comenzamos por examinar una pregunta simple: ¿cuál es el equivalente del operador diferencial (dt o s) en términos del operador de desplazamiento (z)?. Para responder se comenzará con un sistema integrador simple, esto es, du dt = e ( t ) osU ( s ) = E ( s ) oC ( s ) = U ( s ) E ( s ) = 1 s La solución análoga de este sistema es u ( t ) = u ( t 0 ) + e ( τ ) En los instantes de las muestras ( k + 1 ) T = u ( T ) + T e ( τ ) dτ ec . ( 1 ) u ¿ Hay tres elecciones aparentes para aproximar la integral anterior en tiempo discreto, esto es, usando valores solamente en los instantes de las muestras y no entre ellas. La figura siguiente ilustra estas aproximaciones.
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  • Computadora, Integración, Controlador PID, Sistema de control, Señal analógica, Señal digital

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