M m log l l t ef r 10 10 t c ρ clog pc qc qe ρρ c

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M M log L L T ef R/ 10 10 T c ρ c log P c q c q e ρ ρ c ρ (K) (cm) (10 6 K) (g / cm 3 ) (dina / cm 2 ) (g / cm 3 ) 60 5,70 48200 70,96 39,28 1,93 16,12 0,74 0 0,08 24 15 4,29 31500 32,89 32,75 5,48 16,44 0,40 0 0,20 27 5 2,77 18200 17,18 26,43 19,0 16,84 0,23 0 0,47 8 2 1,26 9800 10,30 21,09 47,0 17,21 0,13 0 0,87 54 1,75 1,03 8900 9,683 20,22 66,5 17,25 0,11 0 0,92 72 1,5 0,76 7800 9,141 19,05 76,7 17,28 0,07 0 0,94 82 1,2 0,34 6300 8,650 16,67 85,7 17,26 0,01 10 - 7 0,89 97 1 -0,04 5600 6,934 14,42 82,2 17,17 0 0,0035 1,43 57 0,3 -1,96 3500 2,054 7,59 107 17,05 0 1 16,5 0,15 0,08 -3,80 2100 0,650 3,30 775 17,83 0 1 139 0,18 431
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Note que, embora a zona convectiva superficial do modelo com uma massa solar abranja somente 0,35% da massa, isso corresponde a 17% do raio. 23.26 Resultado dos modelos Recapitulando, com as quatro equa¸c˜ oes de equil´ ıbrio e as equa¸c˜ oes da f´ ısica da mat´ eria, P ( ρ, T, X i ), K ( ρ, T, X i ) e ( ρ, T, X i ), al´ em da condi¸c˜ ao de equil´ ıbrio radiativo = rad se ad ≥ ∇ rad ou convectivo = ad se ad < rad e as condi¸c˜ oes de contorno, podemos calcular a estrutura estelar. Uma dificuldade ´ e que as condi¸c˜ oes de contorno est˜ao separadas: um par se refere ao centro e outro par se refere `a superf´ ıcie. E nem sempre existe uma solu¸c˜ ao em equil´ ıbrio para certas escolhas de massa total e composi¸c˜ ao qu´ ımica. Uma maneira de resolver o sistema de equa¸c˜ oes ´ e usando o m´ etodo de in- tegra¸c˜ ao chamado de Runge—Kutta [Carl David Tolm´ e Runge (1856-1927) e Wilhelm Martin Kutta (1867 - 1944)], que envolve o c´alculo de uma s´ erie de derivadas da vari´ avel dependente, y , em uma s´ erie de pontos no intervalo come¸cando em x e terminando em x + h , onde x ´ e a vari´ avel independente e h ´ e chamado de passo. Estas derivadas s˜ao ent˜ ao utilizadas para encontrar y ( x + h ). As vers˜ oes mais sofisticadas do m´ etodo automaticamente ajustam o valor do passo para manter a precis˜ao desejada. Outro m´ etodo, usado no c´alculo de modelos estelares reais, leva em conta que, se integrarmos do centro para fora, ´ e poss´ ıvel que pequenos erros no n´ucleo sejam amplificados ao chegar na superf´ ıcie, como a id´ eia de balan¸car amplamente a ponta de um chicote com pequenos movimentos de m˜ao. O mesmo problema acontece nos modelos estelares devido ao grande contraste entre as condi¸c˜ oes centrais e superficiais, e a condi¸c˜ ao de equil´ ıbrio radiativo cont´ em o fator T - 4 , enquanto a condi¸c˜ ao de equil´ ıbrio hidrost´atico depende de r - 4 . O m´ etodo usado ´ e integrar a partir do centro e da superf´ ıcie si- multaneamente e ver se as solu¸c˜ oes se ajustam de forma cont´ ınua em algum ponto entre os extremos, por exemplo na borda entre o n´ucleo convectivo e o envelope radiativo, nas estrelas de alta massa. Precisamos ent˜ ao minimizar y i ( x f ) - y o ( x f ), onde x f ´ e o ponto de ajuste, de modo que podemos calcular a derivada desta diferen¸ca, que deve se anular no ponto de m´ ınimo. Como nossas fun¸c˜ oes n˜ao s˜ao lineares, iteramos o c´alculo at´ e que a diferen¸ca esteja 432
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dentro da precis˜ao pr´ e-determinada. Este m´ etodo, de transformar um pro- blema n˜ao linear em um linear, chama-se de m´ etodo de Newton—Raphson [Isaac Newton (1642-1727) e Joseph Raphson (1648-1715)]. No m´ etodo de Henyey, a cada intera¸c˜ ao corre¸c˜ oes para todas as vari´ aveis em todos os pon- tos s˜ao calculados simultaneamente [Louis George Henyey (1910-1970), J.E. Forbes e Nancy L. Gould 1964, Astrophysical Journal, 139, 306]. Nosso c´alculo para estrelas esf´ ericas consiste ent˜
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