Il y a donc contradiction entre la r ealit e et le

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ees par l’air sur la poutre sont nulles. Il y a donc contradiction entre la r´ ealit´ e et le mod` ele associ´ e `a la cin´ ematique 1. Prenons l’exemple d’un torseur des d´ eformations ne comportant que le terme x . Tous les petits parrall´ el´ epip` edes entre les points P et P 0 s’allongent de la valeur x ds . De part l’effet Poisson, ils souhaitent se contracter dans les directions ~ y et ~ z . Or la cin´ ematique 1 choisie, d’un mouvement en bloc rigide d’une section droite les en empˆ eche. Cette cin´ ematique n’est pas r´ ealiste pour une poutres non bloqu´ ee sur toutes ses surfaces lat´ erales. Il nous faut chercher une cin´ ematique telles que sur les surfaces lat´ erales les contraintes σ yy et σ zz soients nulles. C’est l’objet de la seconde cin´ ematique. Assimilation Pour v´ erifier que vous avez assimil´ e ce paragraphe, je vous invite `a obtenir le brevet 041. Si vous avez des difficult´ es, je vous invite `a contacter le r´ ef´ erent du brevet correspondant, dont le m´ el est disponible sur http ://umtice.univ-lemans.fr/course/view.php ?id=95. 2.4.3 2nd cin´ ematique Le plan normal peut se d´ eformer dans le plan tel que σ yy et σ zz restent nuls. description de la cin´ ematique Le torseur des d´ eformations est choisi identique `a celui de la cin´ ematique 1, mais un mouvement du point P 0 dans le plan ˜ u y y, ˜ z ) ~ y + ˜ u z y, ˜ z ) ~ z , mouvement pour l’instant inconnu, est rajout´ e (voir figure 2.24. eformations Le tenseur des d´ eformations est aussi modifi´ e par la pr´ esence de ces deux fonctions (voir figure 2.25). contraintes On peut donc en d´ eduire par la loi de l’´ elasticit´ e, le tenseur des contraintes (voir figure 2.26). Si la poutre n’est pas charg´ ee sur ses faces de normale ~ y et ~ z , les σ yy , σ zz , et σ yz doivent ˆ etre nulles sur ces faces. Recherchons une solution telles qu’elle soient nulles dans toute la poutre, cela impose 36 cel-00611692, version 1 - 27 Jul 2011
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Figure 2.24 – Calcul du d´ eplacement relatif du point P 0 par rapport au point P pour la cin´ ematique 2. Figure 2.25 – Calcul du tenseur des d´ eformations pour la cin´ ematique 2. une relation sur les fonction inconnues. Si l’on r´ ecrit ces conditions en terme de d´ eformation, le coefficient de poisson ν entre les d´ eformations apparaˆ ıt (voir figure 2.27). On peut alors en d´ eduire les champs de d´ eplacement compl´ ementaires pour assurer que les contraintes soient nulles sur les faces lat´ erales de la poutre. On remarquera que cela implique en tout point de la section droite, que les contraintes σ yy , σ zz , et σ yz sont toutes nulles. torseur des efforts int´ erieurs Par la mˆ eme d´ emarche que pour la cin´ ematique 1, il faut donc faire des int´ egrales sur la section droite (voir figure 2.28) pour obtenir les composantes du torseur des efforts int´ erieurs. Dans les calculs pr´ esent´ es la nullit´ e des moments statiques par rapport `a H est utilis´ ee.
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