3 a si ux y fx y demostrar que u satisface la

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3. a) Si u(x, y) = f(x y), demostrar que u satisface la ecuación en derivadas parciales ou ou x--y-=O. ox oy Hallar una solución tal que u(x,x) = x4e"'2 para todo x. b) Si v(x, y) = f(x/y) para y F O, demostrar que v satisface la ecuación en derivadas parciales ov ov x-+y-=O. ox oy Hallar una solución tal que v(1, 1) = 2 Y D1v(x, l/x) = l/x para todo x F O. 4. Si g(u, v) satisface la ecuación en derivadas parciales 02 g (U, v) ou ov = O, demostrar que g(u, v) = 'I'1(U) + 'I'2(V), donde 'I'I(U) es una función sólo de u y C1'2(V) 10 es únicamente de v. 5. Supóngase que f satisface la ecuación en derivadas parciales Introducir el cambio lineal de variables x = Au + Bv, y = Cu + Dv, siendo A, B, C, D constantes, y póngase g(u, v) = f(Au + Bv, Cu + Dv). Calcular valores enteros no nulos de A, B, C, D para los 'que 'g satisfaga a 2 g/(au av) = o. Resolver esta ecuación corres-
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3)0 Aplicaciones de cálculo diferencial pendiente a g y determinar luego l. (Supóngase la igualdad de las derivadas parciales rnixtas.) 6. Una función ti está definida mediante una ecuación de la forma ( X + y) I/(x,y) = xyf ~ . Demostrar que u satisface la ecuación diferencial de la forma 011 01/ x 2 ax - y2 ay = G(x,Y)I/, y hallar G(x, y). 7. La sustitución x = e-', y = e' transforma it x, y) en g(s,I), siendo g(s, r) = l(e S , el). Si se sabe que I satisface la ecuación en derivadas parciales demostrar que g satisface la ecuación en derivadas parciales 8. Sea I un campo escalar diferenciable en un conjunto abierto S de R", Decimos que I es homogénea de grado p en S si f(fX) = fl'f(X) para todo t > O y todo x de S para los que t x E S. Demostrar que para un campo es-' calar homogéneo de grado p se tiene "'f(x) = p f(x) para cada x de S. Este es el llamado teorema de Eu.er para las [unciones homogéneas. Si x = (Xl, •.. , x n) puede expresarse del siguiente modo of of Xla- + ... +Xn-~-=pf(Xl,.·.,Xn)' Xl ox; [Indicación: Para x,fijo, defínase g(t) = f(lx) y calcular g'(1).] 9. Demostrar el recíproco del teorema de Euler. Esto es, si f satisface x . \l f(x) = pf(x) para todo x en un conjunto abierto S, f debe ser homogéneo de grado p en S. [Indica- ción: Para x, fijo, defínase g(t) = f(tx) - tPf(x) y calcular g'(t).]
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La ecuación de ondas uni-dimensional 351 10. Demostrar la siguiente extensi6n del teorema de Euler para funciones homogéneas de grado p en el caso de dos dimensiones. (Sup6ngase la igualdad de las derivadas par- ciales mixtas.) 9.4 La ecuación de ondas uní-dímenslonal Imaginemos una cuerda tensa de longitud infinita a 10 largo del eje x y que puede vibrar en el plano xy. Designemos con y = ¡(x, t} el desplazamiento ver- tical de la cuerda en el punto x en el instante t. Supongamos que, en el instante t = 0, la cuerda está desplazada tomando la forma de una curva y = F(x). En la figura 9.1 a) se representa un ejemplo. Las figuras 9.1 b) Y e) muestran las posi- bles curvas de desplazamiento para valores postenores de t. Consideremos el des- plazamiento ¡(x, t) como una función incógnita de x y t que hay que determinar.
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