Tensão de flexão em vigas 70 figura 55 tensões de

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Tensão de flexão em vigas 70 Figura 5.5 – Tensões de cisalhamento atuando em planos ortogonais Observação Importante: Para o caso de materiais anisotrópicos (diferentes propriedades mecânicas nas direções x, y e z ) como por exemplo a madeira, o eixo se rompe ao longo de um plano paralelo ao eixo x. Figura 5.6 – Plano de ruptura em eixos em madeira Exemplo 5.1: Um eixo maciço de raio c é sujeito à um torque T. Determine a fração de T que é resistida pelo material contido na região externa do eixo, de raio interno c/2 e raio externo c. x τ max x c c/2 T x T
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Curso de Mecânica dos Sólidos A 71 A fração de T que é resistida pela parte externa do eixo, T , pode ser calculada da forma: ' dT dA = ρ τ , ' max dT 2 d c ρ = ρ τ πρ ρ c c 4 ' 3 max max c c 2 2 2 2 T d c c 4 π τ π τ ρ = ρ ρ = 4 ' 4 max 4 c T c 2 c 2 π τ = ' 3 max 15 T c 2 16 π τ = e a expressão do torque total T sobre a área é: ( ) max 4 T c T c J c 2 τ = = π , 3 max T c 2 π = τ Logo, a relação entre os torques é: 15 T' T 16 = Conclusão: aproximadamente 94 % do torque é resistido pela área externa do eixo. Exemplo 5.2: O acoplamento abaixo é usado para conectar dois eixos. Assumindo que a tensão de cisalhamento nos parafusos é uniforme, determine o número de parafusos para que a máxima tensão de cisalhamento no eixo seja igual a tensão de τ max τ O c ρ c/2 d ρ
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Tensão de flexão em vigas 72 cisalhamento nos parafusos. Cada parafuso tem diâmetro d e está distante R do cento do eixo. Impondo o equilíbrio estático na porção do eixo: T = n . V . R onde n é número de parafusos, V o esforço cortante em cada parafuso e R a distância do centro do parafuso até o centro do eixo. A tensão média nos parafusos pode ser calculada da seguinte forma: m 2 V V A d 4 τ = = π Logo, o esforço cortante em cada parafuso V é: 2 m d V 4 π = τ Sabe-se que a tensão máxima no eixo é: max 4 3 T.r T.r 2.T J r r 2 τ = = = π π Da imposição do problema, τ m = τ max . Logo: 2 3 2.T d V 4 r π = π T V V V V V V T r T
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Curso de Mecânica dos Sólidos A 73 Da relação entre o torque T e o cortante V, temos: 2 3 2.T d T n R 4 r π = π Assim, o número necessário de parafusos é: 3 2.r n R d = 5.5 – Projeto de membros circulares em torção Uma vez conhecido o torque a ser transmitido pelo eixo, e selecionado a máxima tensão de cisalhamento, as proporções do membro tornam-se fixas. Assim, tem-se: max T c J τ = (5.7) O parâmetro J/c é utilizado para projetar eixos maciços ou perfurados. Exemplo 5.3: Selecione dois eixos maciços para transmitir 200 CV de potência cada um, de forma que nenhum deles ultrapasse a tensão de cisalhamento de 7 kgf/mm 2 . Um desses eixos deve operar a 20 rpm, e o outro a 20.000 rpm. (1CV = 4500 kgf.m/min, α (rad/min) = 2 π N(rpm)) Eixo 1: α = T P , 1 kgf m rad 200 . 4500 T 20 . 2 mim min = π , T 1 = 7162 kgf . m 3 6 3 1 1 1 max J T 7162 .10 1,023 .10 mm c 7 = = = τ 3 1 1 1 J c c 2 π = , c 1 = 86,7 mm , d 1 = 173,4 mm Eixo 2: P T = α , 2 kgf m rad 200 . 4500 T 20000 . 2 mim min = π , T 2 = 7,162 kgf . m
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Tensão de flexão em vigas 74 3 3 3 2 2 2 max J T 7,162 .10 1,023 .10 mm c 7 = = = τ 3 2 2 2 J
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