La regla de la cadena nos da las fórmulas ag d f au1

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La regla de la cadena nos da las fórmulas ag = D F aU1 D F aU2 D F aU3 , ax 1 ax + 2 ax + 3 ñx ag = D F aU 1 + D F aU 2 + D F aU3 ay 1 ay 2 ay 3 ay' en las que cada derivada parcial DkF está calculada en (x, y, f(x, y». Puesto que tenemos aU1 _ 1 ax - , aU 2 = O ax ' aU 3 af -=-, ax ax y ag = O ax ' la primera de las ecuaciones anteriores se transforma en af D1F + D 3 F- = O. ax Resolviéndola respecto a af fax obtenemos (9.20) af D1F[x, y,f(x, y)] -=- ax D 3 F[x, y,f(x, y)] en los puntos en los que DaF[x, y, f(x, y)] =1= O. Mediante un razonamiento pare- cido obtenemos una fórmula análoga para af /ay: (9.21) ~f D 2 F[x, y,f(x, y)] -=- ay D 3 F[x, y,f(x, y)] en los puntos en los que DaF[x, y, f(x, y)] =1= O. Ordinariamente esas fórmulas se escriben más brevemente así: af aF/ax ax = - aF/az' af aF/ay -= --- ay aF/az
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Derivación de funciones definidas implícitamente 361 EJEMPLO. Supongamos que la ecuaci6n y2 + xz + z" - eZ - e = O defi- ne z como funci6n de x e y, sea ésta z = f(x, y). Hallar un valor de la constante e para el cual f(O, e) = 2, Y calcular las derivadas parciales af/ax y af/ay en el punto (x, y) = (O, e). Solución. Cuando x = O, Y = e y z = 2 la ecuaci6n toma la forma e 2 + 4 - e 2 - e = O, Y ésta se satisface para e = 4. Sea F(x, y, z) = y2 + xz + Z2 - e' - 4. De (9.20) y (9.21) obtenemos (Jf z -=- (Jx x + 2z - e Z ' (Jf 2y a y = - x + 2z - e Z Cuando x = O, Y = e, y z = 2 encontramos af/ax = 2/(e 2 - 4) Y af/ay 2e/(e 2 - 4). Obsérvese que hemos podido calcular las derivadas parciales af/ax y af /ay utilizando tan s610 el valor de f(x, y) en el punto (O, e). La discusi6n anterior puede extenderse a funciones de más de dos variables. TEOREMA 9.3. Si F es un campo escalar diierenciable en un conjunto abier- to T de R" y si suponemos que la ecuación define implícitamente x", como función diierenciable de Xl , ••• , Xn-l para todos los puntos (Xl, ... ,X n - l ) en un cierto conjunto S de Rn-\ entonces para cada k = 1,2, ... , n - 1, la derivada parcial Dkf viene dada por la fórmula (9.22) en los puntos en los que DnF =1= O. Las derivadas parciales DkF y DnF que apa- recen en (9.22) están calculadas en el punto (Xl' X 2 , ••• , Xn-l, tt», , ... , X n- l ». La demostración es una extensi6n directa del razonamiento utilizado para deducir las ecuaciones (9.20) y (9.21) Yla dejamos para el lector. La discusión puede generalizarse en otro sentido. Supongamos dos superfi- cies con las representaciones implícitas siguientes: (9.23) F(x,y, z) = O, G(x,y, z) = O. Si esas superficies se cortan a 10 largo de una curva e, es posible obtener una
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362 Aplicaciones de cálculo diferencial representación paramétrica de e resolviendo las dos ecuaciones (9.23) simultá- neamente respecto a dos de las variables en función de la tercera, por ejemplo x e y en función de z. Supongamos que sea posible despejar x e y y que las solu- ciones vengan dadas por las ecuaciones x = X(z), y = Y(z) para todo z en un cierto intervalo abierto (a, b) Entonces cuando x e y se reem- plazan por X(z) e Y(z), respectivamente, las dos ecuaciones (9.23) se satisfacen idénticamente. Esto es, podemos escribir F[X(z), Y(z), z] = O Y G[X(z), Y(z), z] = O para todo z de (a, b).
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