Exercice 18 calculer pour tout n n les sommes a n 3

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Exercice 18 – Calculer, pour tout n N , les sommes A = n 3 summationdisplay k =0 parenleftbigg n 3 k parenrightbigg , B = n 3 summationdisplay k =0 parenleftbigg n 3 k +1 parenrightbigg et C = n 3 summationdisplay k =0 parenleftbigg n 3 k +2 parenrightbigg . On pourra faire intervenir les racines cubiques de l’unité. Exercice 19 – Calculer, pour n N , S n = + summationdisplay k =0 ( 1) k parenleftbigg n 2 k parenrightbigg . Exercice 20 – Soit la racine cubique de l’unité j =e 2i π 3 . 1. Montrer que pour tout z C , ( z +1)( z + j )( z + j 2 )=(1+ z )(1+ jz )(1+ j 2 z ) . 2. Montrer que pour tout ( u,v ) C 2 , u 3 + v 3 =( u + v )( u + jv )( u + j 2 v ) . Exercice 21 – Déterminer les racines de X 4 +i , sous forme trigonométrique, sous forme algébrique. Exercice 22 – Donner une expression des racines n -ièmes de 3+i . Exercice 23 – Soit n N , et P C [ X ] un polynôme de degré n , tel que P (0) = 1 et P (1) = 0 . On note, pour tout k [[0 ,n ]] , ω k =e i 2 n +1 . 1. Montrer que n summationdisplay k =0 P ( ω k )= n +1 2. En déduire que sup | z | =1 | P ( z ) | greaterorequalslant 1+ 1 n . Exercice 24 – Montrer que pour tout n N , n summationdisplay k =1 | cos k | greaterorequalslant n 4 . Exercice 25 1. Soit n N , et soit ω une racine n -ième de l’unité, différente de 1 . Que vaut n 1 summationdisplay k =0 ω k ? 2. On note β la racine 7-ième de l’unité différente de 1 de plus petit argument strictement positif. 2
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(a) Calculer A = β + β 2 + β 4 et B = β 3 + β 5 + β 6 (b) Montrer que β 1+ β 2 + β 2 1+ β 4 + β 3 1+ β 6 = 2 . Exercice 26 – Soit n N . Résoudre suivant les valeurs de n l’équation z n =( z +1) n =1 . Exercice 27 – Calculer S n = n 1 summationdisplay k =1 sin n , et en déduire lim n + S n n . Exercice 28 – Soit n N , n greaterorequalslant 3 , et ( α,β,γ ) U 3 tels que α n = β n = γ n = 1 et α + β + γ = 0 . Montrer que n est un multiple de 3 . Exercice 29 – Soit n greaterorequalslant 2 , et pour tout k [[0 ,n 1]] , ω k la racine n -ième de 1 d’argument 2 πk n . 1. Calculer n 1 summationdisplay k =0 ( k +1) ω k . 2. Calculer n 1 summationdisplay k =0 parenleftbigg n k parenrightbigg ω k . Exercice 30 – Soit ω =e 2i π n . Calculer n 1 summationdisplay k =0 | ω k 1 | 2 et n 1 summationdisplay k =0 | ω k 1 | . Exercice 31 – Soit θ R . Résoudre l’équation z 4 2cos( θ ) z 2 +1=0 . Exercice 32 1. Soit ( z,z ) C 2 . Montrer que : | z | 2 + | z | 2 = 1 2 ( | z + z | 2 + | z z | 2 ) . 2. En déduire que pour tout ( z,z ,u ) C 3 tel que zz = u 2 , | z | + | z | = vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle z + z 2 + u vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle + vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle z + z 2 u vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle . Exercice 33 – Soit u C \ { 1 } et z C \ R . Montrer que z u z 1 u est réel si et seulement si | u | =1 . Exercice 34 – Résoudre z =2 z + j , où j =e i 2 π 3 . On exprimera z sous forme trigonométrique.
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  • Fall '19
  • triangle, Rectangle, nombre complexe, Cercle, Mathématiques, Racine d'un nombre

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