Exercice 20 soient u v u greaterorequalslant v q p et

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Exercice 20 – Soient u 0 > 0 , v 0 > 0 , u 0 greaterorequalslant v 0 , 0 < q < p , et pour tout n greaterorequalslant 0 , u n +1 = pu n + qv n p + q et v n +1 = qu n + pv n p + q . Montre que ( u n ) et ( v n ) converge vers une limite commune, qu’on déterminera. Exercice 21 (Étude d’une relation de récurrence linéaire à coefficients non constants) On note E l’ensemble des suites réelles ( u n ) n N qui vérifient la relation de récurrence n N , u n +1 =(4 n +2) u n + u n 1 . 1. On considère les deux suites ( α n ) n N et ( β n ) n N appartenant à E et définies par α 0 = β 1 =1 et α 1 = β 0 =0 . (a) Étudier la monotonie et la convergence des suites ( α n ) n N et ( β n ) n N . (b) Soit n N . Montrer que α n +1 β n α n β n +1 =( 1) n +1 . (c) En étudiant les deux suites parenleftbigg α 2 n β 2 n parenrightbigg n N * et parenleftbigg α 2 n +1 β 2 n +1 parenrightbigg n N * , montrer que parenleftbigg α n β n parenrightbigg n N * converge vers un réel . (d) Montrer que pour tout entier naturel n non nul, vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle α n β n vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle lessorequalslant 1 β n β n +1 . 2. Dans cette question, ( u n ) n N désigne une suite de E . (a) Montrer qu’il existe deux réels λ et µ tels que : pour tout n de N , u n = λα n + µβ n . (b) Déterminer, suivant les valeurs de λ et µ la limite de ( u n ) (la discussion pourra faire intervenir le réel ). Exercice 22 (Explicitation de suites de type classique) Pour chacune des suites ci-dessous, expliciter le terme u n en fonction de n : 1. u 0 =2 , pour tout n greaterorequalslant 0 , u n +1 = u n +4 2. u 0 =3 , pour tout n greaterorequalslant 0 , u n +1 = u n 3 3. u 0 =1 , pour tout n greaterorequalslant 0 , u n +1 = u n 2 +1 4. u 0 =1 , u 1 =2 , pour tout n greaterorequalslant 0 , u n +2 =12 u n u n +1 . 5. u 0 =1 , pour tout n greaterorequalslant 0 , u n +1 =2 u n + n 1 6. u 0 =1 , u 1 =1 , pour tout n greaterorequalslant 0 , u n +2 = u n +1 +2 u n +3 . 7. u 0 =1 , u 1 =1 , pour tout n greaterorequalslant 0 , u n +2 =6 u n +1 9 u n 4 n +3 +2 n +1 . Exercice 23 (Étude d’une relation de récurrence d’ordre 2 non linéaire) On considère la suite ( u n ) n N définie par ses deux premiers termes u 0 et u 1 strictement positifs, et la relation de récurrence : n N , u n +2 = u n +1 + u n . Montrer que ( u n ) n N converge vers une limite finie qu’on déterminera. 3
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Exercice 24 (Étude de la convergence de suites récurrentes de type u n +1 = f ( u n ) ) Étudier la convergence des suites définies par les récurrences ci-dessous : (a) u 0 greaterorequalslant 3 2 , u n +1 = 2 u n +3 (b) u 0 > 0 , u n +1 = 2 u 2 n (c) u 0 negationslash =1 , u n +1 = 1+ u n 1 u n (d) u 0 R , u n +1 = 1 3 (4 u 2 n ) (e) u 0 negationslash = 5 , u n +1 = 4 u n +2 u n +5 (f) u 0 R , u n +1 =cos( u n ) . Exercice 25 (Récurrence alternée) On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0 , + [ par f ( x ) = 1+ x , et la fonction g définie sur ]1 , + [ par g ( x )= 1 x 1 . Soit ( u n ) n N définie par u 0 =1 et pour tout n N : u 2 n +1 = f ( u 2 n ) et u 2 n +2 = g ( u 2 n +1 ) .
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  • Fall '19
  • nombre réel, entier naturel, Mathématiques, Continuité, Compacité, A. Troesch

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