Onde σ e a frequˆ encia angular por examplo

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, onde σ ´ e a freq¨uˆ encia angular. Por examplo, assumimos para ξ : ξ ( r , t ) = ξ ( r ) e iσt (23.522) Com esta substitui¸c˜ ao, separamos a vari´ avel de tempo das vari´ aveis que s˜ao fun¸c˜ ao da posi¸c˜ ao ( r, θ, φ ). Como a energ´ etica das oscila¸c˜ oes n˜ao radiais indica que a amplitude radial ´ e pequena, podemos modelar a por¸c˜ ao angular das pulsa¸c˜ oes atrav´ es de esf´ ericos harmˆonicos. Desta forma, a solu¸c˜ ao para ξ ( r ) e P ( r ) ´ e: ξ ( r, θ, ϕ ) = ξ r ( r, θ, ϕ ) e r + ξ θ ( r, θ, ϕ ) e θ + ξ ϕ ( r, θ, ϕ ) e ϕ = ξ r ( r ) e r + ξ t ( r ) e θ ∂θ + ξ t ( r ) e ϕ 1 sin θ ∂ϕ Y m ( θ, ϕ ) onde ξ θ ( r, θ, ϕ ) = ξ t ( r ) ∂Y m ∂θ No livro de John David Jackson (1925-) [1975, Classical Electrodyna- mics, 2nd ed., (New York:Wiley & Sons)] e no livro de Eugene Merzbacher, [1970, Quantum Mechanics, 2nd ed., (New York: Wiley & Sons)] existe uma discuss˜ao compacta de esf´ ericos harmˆonicos. Como a base de esf´ ericos harmˆonicos ´ e completa, podemos representar qualquer distribui¸c˜ ao angular por uma soma de esf´ ericos harmˆonicos, mas o que queremos aqui ´ e atribuir um ´unico e m a cada modo de pulsa¸c˜ ao. O ´ ındice ´ e chamado de grau harmˆomico, m ´ e chamado de n´umero azimutal e n , o n´umero de nodos entre o centro e a superf´ ıcie da estrela, de ordem radial. Isto ´ e poss´ ıvel no caso da inexistˆ encia de rota¸c˜ ao ou de rota¸c˜ ao lenta, mas n˜ao ´ e v´alido para o caso de rota¸c˜ ao r´apida ou da existˆ encia de campos magn´ eticos fortes. As fun¸c˜ oes esf´ ericos harmˆonicos Y m ( θ, ϕ ) s˜ao dadas por Y m ( θ, ϕ ) = s 2 + 1 4 π ( - m )! ( + m )! P m (cos θ ) e imϕ , 539
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onde os P m (cos θ ) s˜ao os polinˆomios de Legendre associados [Adrien-Marie Legendre (1752-1833)], gerados por P m ( x ) = ( - 1) m 2 ! ( 1 - x 2 ) m/ 2 d + m dx + m ( x 2 - 1 ) . Aqui escrevemos x no lugar de cos θ . Os valores de e m para estas fun¸c˜ oes ao = 0 , 1 , . . . (um inteiro), e m ´ e um inteiro com | m | ≤ para assegurar solu¸c˜ oes regulares e de valor ´unico. Antes de continuar, definimos algumas freq¨uˆ encias importantes. A pri- meira ´ e a freq¨uˆ encia de Brunt-V¨ ais¨ al¨ a N : N 2 = - Ag = - g d ln ρ dr - 1 Γ 1 d ln P dr (23.523) onde g ´ e a acelera¸c˜ ao gravitacional local. N , em sua interpreta¸ ao mais simples, ´ e a freq¨uˆ encia de oscila¸c˜ ao associada `a perturba¸c˜ ao de um elemento de fluido em um meio est´avel `a convec¸ ao ( N 2 > 0), isto ´ e, associada com a flutuabilidade. Como um exemplo, se colocarmos uma rolha em um pote com ´agua, a rolha oscilar´a para cima e para baixo com a freq¨uˆ encia de Brunt-V¨ ais¨ al¨ a. O f´ ısico finlandˆ es Vilho (Yrj¨ o) V¨ais¨ al¨ a (1891-1971) em 1925, e o meteorologista inglˆ es Sir David Brunt (1886-1965), em 1927, derivaram independentemente a f´ormula para a freq¨uˆ encia de flutuabilidade ( buoyancy ) e que corresponde a maior freq¨uˆ encia de uma oscila¸c˜ ao gravitacional em uma atmosfera completamente compress´ ıvel. Esta freq¨uˆ encia ´ e normalmente descrita como a freq¨uˆ encia de Brunt-V¨ ais¨ al¨ a.
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