Como exemplo codificaremos dabaabcaa onde as

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Como exemplo, codificaremos DABAABCAA, onde as seqüências são A = 5, B = 2, C = 1, D = 1. Combinando C e D, obtemos X com freqüência 2 {A = 5 / B = 2 / X = 2 }. Combinando B e X, obtemos Y com freqüência 4 {A = 5 / Y = 4 }. Este é o caso base, que resulta na árvore 0 1 Y A Desdobrando Y, temos 0 1 0 1 A B X Desdobrando X, temos 0 1 0 1 B 0 1 C D Então, A = 1, B = 00, C = 010, D = 011 DABAABCAA = 011100110001011 Observe que este algoritmo não é um algoritmo de grafos, embora o uso de grafos facilite a sua compreensão. 55
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14 Árvore de Espalhamento de Custo Mínimo Uma árvore de espalhamento de um grafo G é uma árvore contendo todos os vértices de G. Para um dado grafo, podem existir várias árvores de espalhamento diferentes. Se associarmos um peso a cada aresta, uma destas árvores terá um custo menor do que as outras. 2 Esta seção apresenta um algoritmo que encontra a árvore de espalhamento de custo mínimo (AECM) de um grafo. Note que, dentre todos os subgrafos conectados que possuem todos os vértices de G, o que possui custo mínimo é uma árvore. Se tivesse um ciclo, poderíamos retirar a aresta de maior custo e continuaríamos a ter um subgrafo conectado, que ainda teria um custo menor. b 2 4 a 3 d G: 3 5 1 c 6 e Para o grafo acima, teríamos a AECM é b 2 4 d 3 1 c e Para encontrar a AECM de um grafo G, usaremos a seguinte HI: HI: Dado um grafo dirigido G = (V, E), nós sabemos como encontrar um subgrafo T de G com K arestas tal que T é uma árvore que é um subgrafo da AECM de G. Analisando a HI de uma perspectiva dinâmica, ela começa com uma árvore T vazia e vai acrescentando arestas nesta árvore até obter uma árvore que contém todos os vértices de G. Considerando o grafo 2 Naturalmente, o custo de uma árvore é a soma dos custos de suas arestas. 56
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b 2 4 a 3 d 3 5 1 c 6 e os passos da execução do algoritmo correspondente à HI seriam: b b d 4 d a a 1 c e c e b b 2 4 d 2 4 d a a 3 1 1 c e c e O caso base para a HI é K = 1. Então precisamos escolher a primeira aresta a ser colocada em T. Afirmamos que esta aresta é a de custo mínimo dentre todas as arestas do grafo. Para provar este ponto, suponha que tenhamos a AECM e ela não possui a aresta de custo mínimo. Então podemos acrescentar esta aresta à AECM produzindo um ciclo. Retirando uma outra aresta qualquer do ciclo, obtemos uma árvore que possui um custo menor do que a AECM, o que contradiz a hipótese de que a AECM possui custo mínimo. Logo, a suposição inicial de que a AECM não possui a aresta de custo mínimo está errada. No caso geral, já encontramos uma árvore T que é subgrafo da AECM e queremos estender T de uma aresta. A união de T com a nova aresta deve ser uma árvore e ser subgrafo da AECM. O problema é qual aresta escolher.
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