Este avermelhamento foi comprovado em 1960 por robert

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Este avermelhamento foi comprovado em 1960 por Robert V. Pound e Glen A. Rebka, demonstrando que um um feixe de raios γ mudava de energia em 2 partes em 10 15 ao mover-se os 20 metros da torre do Laborat´orio Jefferson, em Harvard. Em 1964, utilizando a absor¸c˜ ao resonante do raio γ de 14,4 Kev pelo 57 Fe, Robert V. Pound e J.L. Snider reduziram a incerteza para menos de 1%, conforme publicaram no Physical Review B , (1965) 140, 788. 27.11.7 Massa de Planck A energia gravitacional ´ e dada por: E G GM 2 r desprezando-se o fator de integra¸c˜ ao, da ordem de 3/5 para distribui¸c˜ oes esf´ ericas. Assumindo que a massa seja constante, podemos escrever em primeira ordem: E = GM 2 r O princ´ ıpio da incerteza pode ser escrito como r × p h (27.22) 663
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Note que usamos h e n˜ao ¯ h porque estamos usando r e p em m´odulo, e n˜ao somente em uma dire¸c˜ ao. Mas E = c p Logo E hc r = GM 2 r e podemos escrever: GM 2 hc Definimos a massa de Planck como: M Planck r hc G Nosso valor difere do valor na literatura M Planck = r ¯ hc G devido ao uso de h e n˜ao ¯ h na equa¸c˜ ao 27.22 27.12 Cosmologia Relativ´ ıstica 27.12.1 Espa¸co-tempo de Minkowski Um ponto no espa¸co-tempo pode ser caracterizado por um evento , que acon- teceu em um lugar do espa¸co, em um certo momento. Podemos caracteri- zar o espa¸co-tempo, e as transforma¸c˜ oes de Lorentz, propostas pelo f´ ısico holandˆ es Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928), em 1904, e utilizadas por Einstein na Teoria da Relatividade Especial em 1905: x = x - vt q 1 - v 2 c 2 t = t - v c 2 x q 1 - v 2 c 2 664
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introduzindo a coordenada imagin´aria - ict no lugar da coordenada temporal t . Dessa maneira, para um espa¸co cartesiano [Ren´ e Descartes (1596-1650), em latim Renatus Cartesius], temos: x 1 = x x 2 = y x 3 = z x 4 = - ict Com essas defini¸c˜ oes, podemos transformar de um sistema de coordena- das para outro mantendo a rela¸c˜ ao: x 2 1 + x 2 2 + x 3 3 + x 2 4 = x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + x 2 4 Um sistema de coordenadas descrito pelas coordenadas ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) anteriores ´ e chamado de um sistema de Minkowski, pois foi proposto pelo matem´atico russo Hermann Minkowski (1864-1909). Esse sistema ´ e um espa¸co euclidiano de quatro dimens˜oes, e a transforma¸c˜ ao de Lorentz cor- responde a uma rota¸ c˜ao nesse espa¸co quadridimensional. 27.12.2 Coordenadas gaussianas v=1 v=2 v=3 u=1 u=2 Em um sistema de coordenadas euclidiano, a unidade de distˆancia n˜ao varia com a posi¸c˜ ao. Carl Friedrich Gauss (1777-1855) propˆos um sistema de coordenadas geral, n˜ao-euclidiano; imaginemos um sistema de coordena- das de curvas arbitr´arias, n˜ao-justapostas, em uma superf´ ıcie qualquer. Em uma dire¸c˜ ao designemos as curvas por u , designando-as u = 1, u = 2, . . . . Entre as curvas u = 1 e u = 2 podemos imaginar um n´umero infinito de curvas, correspondendo aos n´umeros naturais entre 1 e 2. As curvas n˜ao 665
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se intersectam e somente uma curva passa por cada ponto da superf´ ıcie, de modo que um valor perfeitamente definido de u pode ser estabelecido para cada ponto. Podemos estabelecer um sistema v de coordenadas sobre a superf´ ıcie, de modo que um valor de u e v possam ser estabelecidos para cada ponto da superf´ ıcie. Chamamos esses pontos de coordenadas gaussi-
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