Calculamos f f f 1 1 1 1 2 1 3 2 2 1 2 3 \u00aa \u00b9 \u00b5 1 2 1 3 6 3 2 6 1 1 6 Calculamos

Calculamos f f f 1 1 1 1 2 1 3 2 2 1 2 3 ª ¹ µ 1 2

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Calculamos $ f f f 0 1 1 0 1 1 2 1 3 2 2 1 2 3 , ¨ ª · ¹ = ( ) - ( ) = + + + ¥ § ¦ ´ µ - ( ) = + + = + + = 1 2 1 3 6 3 2 6 1 1 6 Calculamos $ f f f 1 2 2 1 2 2 2 2 3 2 1 1 2 2 3 2 , ¨ ª · ¹ = ( ) - ( ) = + + + ¥ § ¦ ´ µ - + + + ¥ § ¦ ´ µ = + ¥ § ¦ ´ µ - + + ¥ § ¦ ´ µ = + 1 3 2 6 8 3 3 1 2 1 3 1 8 8 3 3 1 8 3 2 6 2 6 3 2 3 6 5 2 2 3 6 2 9 6 ¥ § ¦ ´ µ - + + ¥ § ¦ ´ µ = - = - = Se observa un cambio mayor en el intervalo [ 1 , 2 ] comparado con el obtenido en [ 0 , 1 ] .
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72 r Unidad 1 La problemática c ) Veriica la siguiente igualdad que expresa un hecho sobre la suma de cambios acumulados. Este hecho re- sulta natural en el contexto del Cambio Acumulado: $ $ $ f f f 0 2 0 1 1 2 , , , ¨ ª · ¹ = ¨ ª · ¹ + ¨ ª · ¹ Calculamos por un lado que: $ f f f 0 2 2 0 2 2 2 2 3 2 2 4 2 3 , ¨ ª · ¹ = ( ) - ( ) = + + + ¥ § ¦ ´ µ - ( ) = + = + = 8 3 1 2 8 3 2 0 3 Por otro lado, sumamos los cambios: $ $ f f 0 1 1 2 1 1 6 2 9 6 4 0 6 2 0 3 , , ¨ ª · ¹ + ¨ ª · ¹ = + = = Como ambos cálculos dan el mismo valor, queda veriicado que: $ $ $ f f f 0 1 1 2 0 2 , , , ¨ ª · ¹ + ¨ ª · ¹ = ¨ ª · ¹ 1 2 0 2 El cambio que acumula una magnitud y f x = ( ) en un intervalo a , b ¨ ª · ¹ de variación de x , puede calcularse a través de la suma de los cambios acumulados en dos subintervalos que conforman a , b ¨ ª · ¹ . Expresamos matemáticamente este resultado: siendo c ¡ ¨ ª · ¹ a ,b se tiene que $ $ $ M M M a , b a , c c , b ¨ ª · ¹ = ¨ ª · ¹ + ¨ ª · ¹ .
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Problemas propuestos r 73 P ROBLEMA 2. Calcula $ f - ¨ ª · ¹ 1 1 , siendo f x x x x ' ( ) = - + - 2 3 4 2 3 Debemos encontrar la antiderivada de f x ' ( ) aplicando el procedimiento algorítmico: Como f x x x x x x x ' ( ) = - + - = - + - 2 3 4 1 2 1 3 1 4 2 3 2 3 entonces F x x x x ( ) = - + - + 1 2 2 1 3 3 1 4 4 2 3 4 C = - + - + 1 4 1 9 1 16 2 3 4 x x x C Independientemente del valor de C , calculamos el Cambio Acumulado: $ f f f - ¨ ª · ¹ = ( ) - - ( ) 1 1 1 1 , = - ( ) + ( ) - ( ) + ¥ § ¦ ´ µ - - - ( ) + 1 4 1 1 9 1 1 1 6 1 1 4 1 1 9 2 3 4 2 C - ( ) - - ( ) + ¥ § ¦ ´ µ 1 1 1 6 1 3 4 C = - + - ¥ § ¦ ´ µ - - - - ¥ § ¦ ´ µ = 1 4 1 9 1 16 1 4 1 9 1 16 2 9 por tanto , $ - ; ? = f 1 1 2 9 , P ROBLEMA 3. La razón de cambio de y con respecto a x es directamente proporcional a la cuarta potencia de x . La constante de proporcionalidad es 5 . Si el valor de y cuando x = 2 es 100 , ¿cuánto vale y en x = 6 ? Para predecir el valor de y en x = 6 haremos uso de la expresión y y 6 2 2 6 ( ) = ( ) + ¨ ª · ¹ Cambio Acumulado en , y y y 6 2 2 6 ( ) = ( ) + ¨ ª · ¹ $ , = + ¨ ª · ¹ 100 2 6 $ y ,
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74 r Unidad 1 La problemática Por su parte, el cambio acumulado de y lo calcularemos a partir de su razón de cambio. Por la información dada, y x x ' ( ) = 5 4 al ser proporcional a la cuarta potencia de x . Por tanto, antiderivando y x x x ( ) = + = + 5 5 5 5 C C de donde, independientemente del valor de C : $ y y y 2 6 6 2 6 2 7 776 32 7 744 5 5 , ¨ ª · ¹ = ( ) - ( ) = - = - = y por tanto: y y y 6 2 2 6 100 7 744 7 844 ( ) = ( ) + ¨ ª · ¹ = + = $ , P ROBLEMA 4. Dada la razón de cambio de f x ( ) : f x x x ' ( ) = - 3 a ) Construye a la función y f x = ( ) sabiendo que f 0 2 ( ) = - Respuesta: f x x x ( ) = - - 4 2 4 2 2 Respuesta: - 7 6 4 b ) Calcula $ f 0 1 2 , ¨ ª © · ¹ ¸ c ) Calcula $ f - ¨ ª · ¹ 2 2 , Respuesta: 0 d ) ¿Qué se puede airmar de f ( 2 ) y f ( - 2 ) a partir del inciso anterior?
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