Calculamos
$
f
f
f
0
1
1
0
1
1
2
1
3
2
2
1
2
3
,
¨
ª
·
¹
=
(
)
-
(
)
=
+
+
+
¥
§
¦
´
¶
µ
-
(
)
=
+
+
=
+
+
=
1
2
1
3
6
3
2
6
1 1
6
Calculamos
$
f
f
f
1
2
2
1
2
2
2
2
3
2
1
1
2
2
3
2
,
¨
ª
·
¹
=
(
)
-
(
)
=
+
+
+
¥
§
¦
´
¶
µ
-
+
+
+
¥
§
¦
´
¶
µ
=
+
¥
§
¦
´
¶
µ -
+
+
¥
§
¦
´
¶
µ
=
+
1
3
2
6
8
3
3
1
2
1
3
1 8
8
3
3
1 8
3
2
6
2 6
3
2 3
6
5 2
2 3
6
2 9
6
¥
§
¦
´
¶
µ -
+
+
¥
§
¦
´
¶
µ
=
-
=
-
=
Se observa un cambio mayor en el intervalo
[
1
,
2
]
comparado con el obtenido en
[
0
,
1
]
.
72
r
Unidad 1
La problemática
c
)
Veriica la siguiente igualdad que expresa un hecho sobre la suma de cambios acumulados. Este hecho re-
sulta natural en el contexto del Cambio Acumulado:
$
$
$
f
f
f
0
2
0
1
1
2
,
,
,
¨
ª
·
¹
=
¨
ª
·
¹
+
¨
ª
·
¹
Calculamos por un lado que:
$
f
f
f
0 2
2
0
2
2
2
2
3
2
2
4
2
3
,
¨
ª
·
¹
=
(
)
-
(
)
=
+
+
+
¥
§
¦
´
¶
µ
-
(
)
=
+
=
+
=
8
3
1 2
8
3
2 0
3
Por otro lado, sumamos los cambios:
$
$
f
f
0 1
1 2
1 1
6
2 9
6
4 0
6
2 0
3
,
,
¨
ª
·
¹
+
¨
ª
·
¹
=
+
=
=
Como ambos cálculos dan el mismo valor, queda veriicado que:
$
$
$
f
f
f
0 1
1 2
0 2
,
,
,
¨
ª
·
¹
+
¨
ª
·
¹
=
¨
ª
·
¹
1
2
0
2
El cambio que acumula una magnitud
y
f
x
=
(
)
en un intervalo
a , b
¨
ª
·
¹
de variación de
x
,
puede calcularse a través de
la suma de los cambios acumulados en dos subintervalos que conforman
a , b
¨
ª
·
¹
.
Expresamos matemáticamente este resultado:
siendo
c
¡
¨
ª
·
¹
a ,b
se tiene que
$
$
$
M
M
M
a , b
a , c
c , b
¨
ª
·
¹
=
¨
ª
·
¹
+
¨
ª
·
¹
.
Problemas propuestos
r
73
P
ROBLEMA
2.
Calcula
$
f
-
¨
ª
·
¹
1
1
,
siendo
f
x
x
x
x
'
(
)
= -
+
-
2
3
4
2
3
Debemos encontrar la antiderivada de
f
x
'
(
)
aplicando el procedimiento algorítmico:
Como
f
x
x
x
x
x
x
x
'
(
)
= -
+
-
= -
+
-
2
3
4
1
2
1
3
1
4
2
3
2
3
entonces
F
x
x
x
x
(
)
= -
+
-
+
1
2
2
1
3
3
1
4
4
2
3
4
C
= -
+
-
+
1
4
1
9
1
16
2
3
4
x
x
x
C
Independientemente del valor de
C
,
calculamos el Cambio Acumulado:
$
f
f
f
-
¨
ª
·
¹
=
(
)
-
-
(
)
1 1
1
1
,
=
-
(
)
+
(
)
-
(
)
+
¥
§
¦
´
¶
µ -
-
-
(
)
+
1
4
1
1
9
1
1
1 6
1
1
4
1
1
9
2
3
4
2
C
-
(
)
-
-
(
)
+
¥
§
¦
´
¶
µ
1
1
1 6
1
3
4
C
=
-
+
-
¥
§
¦
´
¶
µ -
-
-
-
¥
§
¦
´
¶
µ =
1
4
1
9
1
16
1
4
1
9
1
16
2
9
por tanto
,
$
-
;
?
=
f
1 1
2
9
,
P
ROBLEMA
3.
La razón de cambio de
y
con respecto a
x
es directamente proporcional a la cuarta potencia de
x
.
La constante
de proporcionalidad es
5
.
Si el valor de
y
cuando
x
=
2
es
100
, ¿cuánto vale
y
en
x
=
6
?
Para predecir el valor de
y
en
x
=
6
haremos uso de la expresión
y
y
6
2
2
6
(
)
=
(
)
+
¨
ª
·
¹
Cambio Acumulado en
,
y
y
y
6
2
2
6
(
)
=
(
)
+
¨
ª
·
¹
$
,
=
+
¨
ª
·
¹
100
2
6
$
y
,
74
r
Unidad 1
La problemática
Por su parte, el cambio acumulado de
y
lo calcularemos a partir de su razón de cambio.
Por la información dada,
y
x
x
'
(
)
=
5
4
al ser proporcional a la cuarta potencia de
x
.
Por tanto, antiderivando
y
x
x
x
(
)
=
+
=
+
5
5
5
5
C
C
de donde, independientemente del valor de
C
:
$
y
y
y
2
6
6
2
6
2
7 776
32
7 744
5
5
,
¨
ª
·
¹
=
(
)
-
(
)
=
-
=
-
=
y por tanto:
y
y
y
6
2
2
6
100
7 744
7 844
(
)
=
(
)
+
¨
ª
·
¹
=
+
=
$
,
P
ROBLEMA
4.
Dada la razón de cambio de
f
x
(
)
:
f
x
x
x
'
(
)
=
-
3
a
)
Construye a la función
y
f
x
=
(
)
sabiendo que
f
0
2
(
)
= -
Respuesta:
f
x
x
x
(
)
=
-
-
4
2
4
2
2
Respuesta:
-
7
6 4
b
) Calcula
$
f
0
1
2
,
¨
ª
©
·
¹
¸
c
)
Calcula
$
f
-
¨
ª
·
¹
2
2
,
Respuesta:
0
d
)
¿Qué se puede airmar de
f
(
2
)
y
f
(
-
2
)
a partir del inciso anterior?
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- Fall '16
- efewfewfewf
