[复变函数与积分变换].焦红伟&尹景本.文字版.PDF.pdf

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2 n n b b b ς ς ς + + + + " " 此 级 数 的 收 敛 域 是 圆 1 r ς < 1 0 r < +∞ , 且 它 在 1 r ς < 内 绝 对 收 敛 , 在 1 r ς 1 1 r r < 上一致收敛. 换成原来的变量 z ,则级数 (4.10) z a r > (0 ) r < < +∞ 内绝对收敛,在 z a r r r ′ > 上一致收敛,并在 z a r > 内定义一个解析函数 2 ( ) f z 因此,若 R r ,则级数 (4.8) 在复平面无处收敛;当且仅当 R r > 时,级数 (4.8) 的收敛 域为 r z a R < < 且知它在该圆环内绝对收敛,在闭圆环 r r z a R R < < 上一致收敛. 级数 (4.8) 在圆环 r z a R < < 内代表一个解析函数 ( ) f z ,且有 1 2 ( ) ( ) ( ) f z f z f z = + 若级数 (4.8) 在圆环 r z a R < < 内收敛,则称此圆环为级数 (4.8) 的收敛圆环. 类似幂级数,双边幂级数有如下定理 ( 证明从略 ) 定理 4.11 若级数 (4.8) 的收敛圆环为 r z a R < < 0 r R < +∞ ( ≤ ),则级数 (4.8) G 内绝对收敛,且在 G 内每个较小的同心闭圆环 : ( ) G r z a R r r R R < < < 上一致收 敛,其和函数在 G 内为解析函数,并且可以逐项求积和逐项求导 .
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