Les centres des disques sont repérés par une croix

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Les centres des disques sont repérés par une croix. Les disques de Gershgorin peuvent servir à localiser les valeurs propres d’une matrice, comme le montre la proposition suivante
6.4 Comment calculer le décalage 197 Proposition 6.1 Toutes les valeurs propres d’une matrice A C n × n appartiennent à la région du plan complexe définie par l’in- tersection des deux régions constituées respectivement de la réunion des disques des lignes et des disques des colonnes. Si de plus m disques des lignes (ou des colonnes), 1 m n , sont disjoints de la réunion des n m autres disques, alors leur réunion contient exactement m valeurs propres. Rien n’assure qu’un disque contienne des valeurs propres, à moins qu’il ne soit isolé des autres. L’estimation fournie par les disques de Ghersghorin est en général assez grossière. On peut cependant utiliser le résultat ci-dessus pour avoir une première estimation du décalage, comme le montre l’exemple suivant. Remarquer qu’on peut déduire de la Proposition 6.1 que toutes les valeurs propres d’une matrice à diagonale strictement dominante sont non nulles. Exemple 6.7 On déduit de l’analyse des disques des lignes de la matrice A(30) de l’Exemple 6.1, que les parties réelles des valeurs propres de A sont comprises entre 32 et 48. On peut donc utiliser le Programme 6.2 pour cal- culer la valeur propre de module maximal en choisissant un décalage μ égal à 48. La méthode converge alors en 15 itérations, tandis que 22 itérations sont nécessaires pour la méthode de la puissance avec la même donnée initiale x0=[1;1;1;1] et la même tolérance tol=1.e-10 . Résumons-nous 1. La méthode de la puissance est un algorithme itératif qui permet le calcul de la valeur propre de plus grand module d’une matrice donnée ; 2. la méthode de la puissance inverse permet le calcul de la valeur propre de plus petit module ; pour l’implémenter efficacement, il est recommandé de factoriser la matrice avant de démarrer les itérations ; 3. la méthode de la puissance avec décalage permet le calcul de la valeur propre la plus proche d’une valeur donnée ; pour être efficace, elle nécessite une connaissance a priori de la localisation des valeurs propres de la matrice. Cette localisation peut se faire à l’aide des disque de Gershgorin. Voir Exercices 6.7–6.8.
198 6 Valeurs propres et vecteurs propres 6.5 Calcul de toutes les valeurs propres Deux matrices carrées A et B de même dimension sont dites semblables s’il existe une matrice P inversible telle que P 1 AP = B . Deux matrices semblables ont les mêmes valeurs propres. En effet, si λ est une valeur propre de A et x = 0 un vecteur propre associé, on a BP 1 x = P 1 A x = λ P 1 x , ce qui revient à dire que λ est aussi valeur propre de B et y = P 1 x est un vecteur propre associé.

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