Porém na prática isto não acontece porque forças

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Porém, na prática isto não acontece porque forças dissipativas impedem que isto aconteça. A equação diferencial para um sistema massa-mola amortecido sujeito a uma força do tipo F(t) = F 0 sen ω t é: Fig. 9.12 Amplitude do movimento forçado sem atrito como função da frequência de excitação . ω A( ω )
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Oscilações S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas 190 t sen m F x x m b x 0 2 0 ω = ω + + & & & Novamente o sistema é obrigado a oscilar com freqüência ω , porém, devido ao termo de amortecimento, pode haver uma parte da solução que esteja fora de fase com F(t). Portanto, vamos supor que a solução seja do tipo: x(t) = A 1 cos ω t + A 2 sen ω t Substituindo na equação diferencial obtemos: ( ) t sen m F A A m b A t sen A m A b A t cos 0 2 0 2 1 2 2 2 0 1 2 1 2 ω = ω + ω - ω - ω + ω + ω + ω - ω Como esta igualdade deve ser válida para qualquer instante de tempo, devemos ter: ( ) 0 A m b A 2 1 2 2 0 = ω + ω - ω ( ) m F A A m b 0 2 2 2 0 1 = ω - ω + ω - de onde podemos encontrar os valores de A 1 e A 2 e, conseqüentemente, x(t). A solução pode ser colocada na forma: ( ) ( ) ( ) ( ) δ - ω + ω - ω = ω t sen m / F t x 2 2 2 2 0 0 m b ( ) 2 2 0 m b tg ω - ω ω = δ
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Oscilações S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas 191 Vemos agora que próximo da ressonância ( ω ω 0 ), a amplitude do movimento fica limitada ao valor ω b F 0 e, portanto, não diverge. Um gráfico desta amplitude está mostrado na Fig. 9.13. Fig. 9.13 Amplitude do movimento forçado com atrito como função da frequência de excitação . A solução que acabamos de encontrar é a chamada solução particular da equação diferencial. Existem também a solução da equação homogênea que é chamada de transiente e que desaparece com o passar do tempo. A solução geral da equação diferencial é dada por: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) δ - ω + ω - ω + φ - ω = ω - t sen m F t ' cos e ' A t x 2 2 2 2 0 0 m b m 2 bt ω A( ω ) ω R
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Oscilações S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas 192 Exercícios 1 - Nos sistemas mostrados na Fig. 9.14 não há atrito entre as superfícies do corpo e do chão e as molas têm massa desprezíveis. Encontre as freqüências naturais de oscilação. (a) (b) (c) Fig. 9.14 2 - Composição de movimentos (Figuras de Lissajous) - Consideremos um corpo sujeito a dois movimentos harmônicos em direções ortogonais: ( ) ( ) x x x t cos A t x ϕ + ω = ( ) ( ) y y y t cos A t y ϕ + ω = a) Quando y x / ω ω é um número racional, a curva é fechada e o movimento repete-se em tempos iguais. Determine a curva traçada pelo corpo para ω x / ω y = 1/2, 1/3 e 2/3, tomando y x y x e A A ϕ = ϕ = . b) Para ω x / ω y = 1/2, 1/3 e , A A y x = desenhe as figuras para y x ϕ - ϕ = 0, π /4 e π /2. 3 - Considere um cilindro preso por duas molas que roda sem deslizar como mostra a Fig. 9.15. Calcule a freqüência para pequenas oscilações do sistema. 4 - Considere um pêndulo simples de massa m e comprimento L, conectado a uma mola de contraste k, conforme mostra a Fig. 9.16. Calcule a freqüência do sistema para pequenas oscilações. M k 1 k 2 M k 1 k 2 M k 1 k 2
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Oscilações S. C. Zilio e V. S. Bagnato Mecânica, calor e ondas 193 Fig. 9.15 Fig. 9.16 5 - Dois movimentos harmônicos de mesma amplitude mas freqüências ligeiramente diferentes são impostos a um mesmo corpo tal que ( ) [ ] t cos A ) t ( x e t cos A ) t ( x 2 1 ω Δ + ω = ω = . Calcule o movimento vibracional resultante.
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  • Spring '14
  • Derivada, PÊNDULO, equação, Física II, frequência, atrito, oscilador harmônico, Oscilações

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