10 prove que cada aresta de um grafo g v e ou

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Prove que cada aresta de um grafo G = (V, E) ou pertence à árvore T construída por Build_DFS_Tree ou conecta dois vértice de G, um dos quais é um ancestral de outro em T. 17 Prove: seja G = (V, E) um grafo dirigido e seja T = (V, F) uma árvore DFS de G. Se (v, w) é uma aresta de E tal que v.DFS < w.DFS, então w é um descendente de v na árvore T. 18 A afirmação da questão anterior vale também para grafos não dirigidos ? 19 Faça um grafo dirigido de tal forma que, a) se DFS começar em um dos vértices, todos os demais são atingidos. Se começar em qualquer dos outros vértices, nenhum será atingido; b) se DFS começar no vértice v, quatro dos oitos vértices serão atingidos. Se a DFS começar em w e z, três vértices serão atingidos. Se começar em t, u e z, dois vértices serão atingidos. Se começar em k e m, apenas o vértice s será atingido, que é um sumidouro. 20 Verifique se uma árvore binária é balanceada. Use apenas preWork e postWork de DFS. 21 Um subgrafo induzido de G = (V, E) é um grafo H = (U, F) tal que U V e F inclui todas as arestas (v, w) em E tal que v e w estão em U. Uma árvore de espalhamento de G é um subgrafo conectado que contém todos os vértices e nenhum ciclo. Seja G = (V, E) um grafo não dirigido conectado e seja T uma árvore DFS de G com raiz em v. Prove: a) Seja H um arbitrário subgrafo induzido de G. Mostre que a interseção de T e H não é necessariamente a árvore de espalhamento de H; b) Seja R uma subárvore de T e seja S um subgrafo de G induzido pelos vértices em R. Prove que R pode ser uma árvore de DFS de S. 22 Você está organizando uma conferência de cientistas de diferentes disciplinas e você tem uma lista de pessoas que poderia chamar. Assuma que qualquer pessoa na lista viria para a conferência desde que tivesse um certo número de pessoas da área para trocar idéias. Para cada cientista, há uma lista de outros cientistas com quem ele poderia conversar (trocar idéias). Faça um algoritmo para convidar o número máximo de cientistas possível assumindo que qualquer um deles viria se tivesse >= 3 pessoas da mesma área para conversar. 11
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2 Complexidade de Algoritmos Dizemos que uma função g (n) é O (f (n)) se existem constantes c e N tal que, para n N, g (n) c f (n). f, g g f N n Por exemplo, 2n + 1 = O (n) pois 2n + 1 3n para n 1. Ou 2n 2 + 5n + 10 = O (n 2 ) pois 2n 2 + 5n + 10 50 n 2 para n 1. A igualdade g (n) = O (f (n)) diz que cf (n) supera g (n) para todos os números maiores que um certo N. Então: O (log 2 n) = O (log 10 n) = O (log n) O (3n) = O (5n + 7) = O (n) O (a r n k + a k - 1 n k - 1 + … + a 1 n + a 0 ) = O (n k ) n = O (n 2 ) A notação O é usada para estimar o número de passos executados por dado algoritmo considerando que sua entrada possui n bits. Como n bits implica n/8 bytes ou n/32 (ou n/16) palavras, podemos associar n com número de bits, bytes ou palavras, já que a diferença entre eles é de uma constante ( 8, 32 ou 16).
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