Parenleftbigg ln x n summationdisplay p 2 1 p

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parenleftBigg ln( x ) n summationdisplay p =2 1 p parenrightBigg . 4. Soit x R + . Montrer (sans le théorème des accroissements finis) qu’il existe exactement deux solutions θ 1 < θ 2 de l’équation f ( x )= xf ( θx ) . Calculer ln( θ 1 )+ln( θ 2 ) et ln( θ 1 ) . ln( θ 2 ) . Etudier la position relative de θ 1 et θ 2 par rapport à 1 . Montrer qu’il existe θ ]0 , 1[ tel que f ( x )= xf ( θx ) . Exercice 12 (oral CCP) Donner la dérivée d’ordre n de x mapsto→ e x cos( x ) . Exercice 13 – Exprimer les dérivées successives de f : x mapsto→ e x cos( 3 · x ) et g : x mapsto→ e x sin( 3 · x ) Exercice 14 (oral CCP) Soit F : x mapsto→ 1 1+ x 2 . Montrer que pour tout n N , il existe un polynôme P n de degré n , qu’on explicitera, tel que x R , F ( n ) ( x )= P n ( x ) (1+ x 2 ) n +1 . Déterminer les racines de P n . Exercice 15 1. Soit f une fonction de classe C sur R + , et soit pour tout n N et tout x > 0 , f n ( x )= x n 1 f ( 1 x ) . Montrer que : n N , x > 0 , f ( n ) n ( x )= ( 1) n x n +1 f ( n ) parenleftbigg 1 x parenrightbigg . 2
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2. En déduire l’expression de la dérivée n -ième des fonctions g n : x mapsto→ x n 1 e 1 x et h n : x mapsto→ x n 1 ln( x ) sur R + . Exercice 16 (Démonstration de la formule du binôme via la formule de Leibniz) En choisissant convenablement deux fonctions f et g dépendant de deux paramètres a et b , retrouver la formule du binôme pour ( a + b ) n à partir de la formule de Leibniz. Exercice 17 (Dérivée n -ième d’un produit de k termes) Généraliser la formule de Leibniz pour ( f 1 · · · f k ) ( n ) . Exercice 18 (Formule de Faà di Bruno pour la dérivée n -ième d’une composée) Démontrer la formule de Faà di Bruno pour f et g n fois dérivables, l’une sur un intervalle I , l’autre sur un intervalle J contenant f ( I ) : ( g f ) ( n ) = summationdisplay ( m 1 ,...,m n ) N n 1 m 1 +2 m 2 + ··· + nm n = n n !
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  • Fall '19
  • Gottfried Wilhelm Leibniz, nombre réel, Mathématiques, Théorème des accroissements finis, Dérivabilité, A. Troesch

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