Se dice que un campo escalar f tiene un máximo

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Se dice que un campo escalar f tiene un máximo absoluto en un punto a de un conjunto S de R" si (9.33) f(x) ~f(a) para todo x de S. El número fea) se llama máximo absoluto de f en S. Se dice que la función f tiene un máximo relativo en a si la desigualdad (9.33) se satisfa- ce para todo X de una cierta n-bola B(a) contenida en S. Dicho de otro modo, un máximo relativo en a es el máximo absoluto en un cierto entorno de a. El mínimo absoluto y el mínimo relativo se definen de modo parecido, empleando la desigualdad opuesta a la (9.33). Algunas veces se emplean los adjetivos global y local en lugar de absoluto y relativo respectivamente. DEFINICIÓN. Un número que sea máximo relativo o mínimo relativo de f se llama extremo de f.
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Máximos, mínimos y puntos de ensilladura 371 Si f tiene un extremo en un punto interior a y es diferenciable en él, todas las derivadas parciales de primer orden D1f(a), ... , Dnf(a) deben ser cero. Es decir, 'V f(a) = O (Esto se puede probar fácilmente manteniendo fijo cada com- ponente y reduciendo el problema al caso uni-dimensional). En el caso n = 2, esto significa que hay un plano horizontal tangente a la superficie z = f(x, y) en el z y y '1) Z = 2 - x' - y' b) Curvas de nivel: x 2 + y2 = e Ejemplo 1. Máximo relativo en el origen. z y x e) z = x- + y' Ejemplo 2. Mínimo relativo en el origen. FIGURA 9.3 Ejemplos 1 y 2.
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372 Aplicaciones de cálculo diferencial punto (a,J(a». Por otra parte, es sencillo encontrar ejemplos en los que la anu- lación de todas las derivadas parciales en a no implica necesariamente un extremo en a. Esto sucede en los llamados puntos de ensilladura que se definen del modo siguiente. DEFINICIÓN. Supongamos que f sea dijerenciable en a. Si V f(a) = O el punto a se llama punto estacionario de f. Un punto estacionario se llama de ensi- lladura si toda n-bola B(a) contiene puntos x tales que f(x) <f(a) y otros para los que f(x) > f(a)., La definición es análoga a la del caso uni-dimensional en el que los puntos estacionarios de una función se clasifican en máximos, mínimos y puntos de in- flexión. En los ejemplos que-siguen se consideran varios tipos de puntos estacio- narios. En cada caso el punto estacionario que se considera es el origen. EJEMPLO 1. Máximo relativo. z = f'(x, y) = 2 - r - y2. Esta superficie es un paraboloide de revolución. En las proximidades del origen tiene la forma indicada en la figura 9.3 a). Sus curvas de nivel son círculos, alguno de los cuales está dibujado en la figura 9.3 b). Puesto que [t», y) = 2 - (x 2 + y2):::;;; 2 = = f'(0, O) para todo (x, y), resulta que f no tan sólo tiene en (O,O) un máximo relativo, sino también un máximo absoluto en todo conjunto que contenga el ori- gen. Las dos derivadas parciales a f/ax y a l/ay se anulan en el origen. EJEMPLO 2. Mínimo relativo. z = f(x, y) = x 2 + y2. Este ejemplo, otro paraboloide de revolución, es en esencia el mismo que el ejemplo anterior, salvo que en el origen hay un mínimo en lugar de un máximo. El aspecto de la super- ficie en las cercanías del origen se aprecia en la figura 9.3 e) y algunas curvas de nivel están dibujadas en la figura 9.3 b), EJEMPLO 3. Punto de ensilladura.
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