A en cada prueba sólo son posibles dos resultados a

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a) En cada prueba sólo son posibles dos resultados: A = «individuo fumador», y Ā = «individuo no fumador». b) El resultado obtenido de la pregunta (FUMA o NO FUMA), en cada individuo de la muestra, es independiente de los otros. c) La probabilidad del suceso A, p = p(A) = 0,35, es constante. Así pues, la variable que representa el número de individuos fumadores en la muestra es una variable aleatoria que puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Los valores n = 10 y p = 0,35 son los parámetros de la distribución, que representaremos por B (10, 0,35). Ejemplo (6): Lanzamos un dado 20 veces. Observamos, en cada caso, si la puntuación obtenida es múltiplo de tres. Comprueba si la variable que expresa el número de veces que se ha obtenido un múltiplo de tres sigue la distribución binomial. En caso afirmativo, señala los parámetros de la distribución. En cada tirada sólo son posibles dos resultados: A = obtener múltiplo de tres y Ā = no obtener múltiplo de tres. Los resultados obtenidos en cada uno de los 20 lanzamientos son independientes entre sí. La probabilidad de obtener múltiplo de tres, p = P(A) = 2/6 = 1/3, es constante en cada lanzamiento Por tanto, la variable que expresa el número de veces que se ha obtenido un múltiplo de tres puede tomar los valores: 0, 1, 2, 3, ..., 19, 20. Los valores n = 20 y p = 1/3 son los parámetros de la distribución binomial, que designaremos por B(20, 1/3).
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FUNCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Ya hemos visto, mediante el ejemplo del juego, una idea intuitiva de la función de probabilidad de la distribución binomial. Supongamos un experimento aleatorio cuyos resultados únicamente pueden ser el suceso A «éxito» y el suceso Ā = «fracaso», con probabilidades p y q =1-p , respectivamente. Realizamos n pruebas del experimento y deseamos saber la probabilidad de obtener r éxitos en las n pruebas. Consideremos uno de los casos en los que se obtienen r éxitos en las n pruebas. Sea el suceso: r éxitos n-r fracasos   B=A ∩ A ∩…∩ A Ā ∩ Ā ∩...∩ Ā La probabilidad de este suceso, teniendo en cuenta la independencia en pruebas sucesivas, será: r veces n-r veces   p(B) = p(A) ∙ p(A) ∙...∙ p(A) ∙ p(Ā) ∙(Ā) ∙…∙ p(Ā) = p r q n-r Ahora bien, hay que considerar todas las maneras posibles de obtener r éxitos y n – r fracasos, que son las permutaciones de n elementos entre los que hay r repetidos y, a su vez n – r repetidos, es decir: PR n r, n-r = )! ( ! ! r n r n = r n “número combinatorio de n sobre r” Si representamos por X la variable aleatoria binomial que representa el número de éxitos, se tiene. p(obtener r éxitos) = p(X = r) = r n p r q n-r Esta expresión recibe el nombre de función de probabilidad de la distribución binomial o función de probabilidad de la distribución de Bernoulli.
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  • Fall '15

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