Exemplos on 3 2 n o 2 n on 2 n on 2 p e q são

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o algoritmo para P dado pela redução também será polinomial. Exemplos: O(n 3 + 2 n ) = O (2 n ) O(n 2 + n) = O(n 2 ) P e Q são polinomialmente equivalentes se cada um pode ser reduzido ao outro em tempo polinomial. Todos os problemas que podem ser resolvidos em tempo polinomial são equivalentes polinomialmente entre si (PROVE !). A classe de todos os Problemas que podem ser resolvidos em tempo polinomial é chamada de P. A classe dos problemas para os quais uma dada solução pode ser conferida em tempo polinomial é chamada de NP. Por exemplo, o problema “ordene um vetor” pertence a NP por que, dado um vetor (supostamente ordenado), podemos conferir se ele está mesmo ordenado em tempo O (n). O problema “encontre um subgrafo completo em um grafo G” pertence a NP. • • • • subgrafo encontrado Dado o subgrafo encontrado, podemos facilmente descobrir se ele é completo. Aparentemente, a classe NP possui problemas muito mais difíceis que a P, já que para um problema pertencer a NP temos apenas que conferir uma dada solução em tempo polinomial, enquanto que em P precisamos resolver o problema em tempo polinomial. Voltaremos a esta questão adiante. 16.1 Problema da Satisfabilidade Uma expressão booleana S estará na forma normal conjuntiva (FNC) se ela for o produto de sub-expressões que são somas. Produto é "e" lógico e soma é "ou" lógico. Exemplo: _ _ _ _ _ 66
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S = (a + b + c) (a + b + c) (a + b + c) Qualquer expressão booleana pode ser transformada em FNC. Uma expressão booleana S é satisfazível se suas variáveis podem receber valores 0 ou 1 de tal forma que S seja 1. No exemplo acima, S é satisfazível: se a = 1, b = 1 e c = 0, então S = 1. O problema SAT é determinar se dada expressão S é satisfazível ou não. Encontrar os valores da variáveis para os quais S = 1 não faz parte do problema SAT. Este problema está claramente em NP porque, dados valores para as variáveis, podemos facilmente descobrir o valor de S. Se S for 1, será satisfazível. Definição: Um problema X é chamado de NP-completo se 1. X pertence a NP. 2. Cada problema em NP é polinomialmente redutível a X. Isto é, com a solução para X temos a solução para qualquer outro problema. Teorema de Cook (1971): SAT é NP - completo Este é um dos resultantes mais importantes da computação teórica, senão o mais importante. Ele implica que, se o problema SAT pode ser resolvido em tempo polinomial, todos os outros problemas NP-completos o serão. Como exemplo, considere que X 1 é NP-completo, como mostra a figura: Y 2 W 2 SAT X 1 X 2 Y 1 W 1 Então a complexidade de X 1 é igual à complexidade do polinômio que transforma a entrada de X 1 para SAT mais a complexidade do SAT, que estamos assumindo ser polinomial. Como O(polinômio) + O(polinômio) = O(polinômio), X 1 também é polinomial. Então, se SAT puder ser resolvido em tempo polinomial, todos os problemas em NP também poderão, implicando P = NP. Infelizmente, ninguém conseguiu ainda provar que SAT pode ou não ser resolvido em tempo polinomial. Isto é, ninguém sabe se P = NP ou P NP, embora ninguém acredite que P = NP.
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