Sendo t um subgrafo da aecm deve haver pelo menos uma

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Sendo T um subgrafo da AECM, deve haver pelo menos uma aresta da AECM ligando T a vértice não em T: AECM T esta aresta existe 57
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No caso geral, existe mais de uma aresta nesta situação. Seja E k o conjunto de todas as arestas ligando vértices em T a vértices fora de T. Afirmamos que a aresta de menor custo de E k pertence à AECM. G T agora é G e não AECM E k Para provar este ponto, assuma que (v, w) é a aresta de menor custo em E k tal que v T e w T. v T G 2 w Suponha que (v, w) AECM, temos a configuração T v x w G 3 y onde apenas as arestas da AECM são mostradas. Como a AECM contém todos os vértices do grafo, existe uma aresta ligando um vértice de T a outro não em T. Suponha que esta aresta seja (x, y), que é diferente de (v, w) já que estamos admitindo que (v, w) AECM. Existe um caminho entre v e w na AECM que contém (x, y), já que esta aresta conecta T com G - T, v T, w G - T. Acrescentando (v, w) na AECM, criamos um ciclo formado pelo caminho entre v e w e a aresta (v, w). Removendo a aresta (x, y) deste ciclo, a AECM continua sendo uma árvore e possui custo menor que a anterior, pois o custo de (v, w) é menor do que (x, y), pois estamos admitindo que o custo de (v, w) é o menor dentre todos os custos de arestas ligando T a G - T (menor custo em E k ). Acima nós admitimos que a aresta de menor custo em E k não está na AECM e encontramos uma contradição que é a AECM não ter custo mínimo. Isto é, acrescentando (v, w) e retirando (x, y), encontramos uma árvore em um custo menor ainda. 58
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Então a suposição inicial de que (v, w), aresta de menor custo em E k , não está na AECM, está errada. Isto é , (v, w) AECM O algoritmo correspondente à HI começa com T = { aresta de menor custo } e vai acrescentando arestas a T até que T possua todos os vértices do grafo. As arestas acrescentadas são as de menor custo que ligam T a G - T. Algorithm AECM( G (V, E) ) begin T = aresta de G com menor custo while T < V do T = T U { aresta (v, w) de menor custo tal que v T e w G - T } return T; end Um exemplo completo é mostrado a seguir. 8 9 7 1 5 10 4 2 3 8 T 9 7 1 5 10 4 2 3 acrescenta min (8, 10, 5, 2) 59
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8 T 9 7 1 5 10 4 2 3 acrescenta min (8, 10, 7, 3) 8 T 9 1 7 5 10 4 2 3 acrescenta min (8, 7, 4) 8 T 9 7 1 5 10 4 2 3 acrescenta min (9, 7, 8) a árvore resultante é 1 7 4 2 3 60
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14.1 Exercícios 73 (4) Prove ou mostre um contra-exemplo: A Árvore de Espalhamento de Custo Mínimo de um grafo G (V, E) possui as V - 1 arestas de menor custo de G. 74 (4) Encontre a AECM do grafo abaixo. 12 20 2 7 3 10 7 1 8 Mostre as árvores obtidas em cada passo do algoritmo.
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