Proposition Si la matrice A a n lignes le produit I n A vaut A si elle a n

Proposition si la matrice a a n lignes le produit i n

  • No School
  • AA 1
  • 34

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Proposition Si la matrice A a n lignes, le produit I n A vaut A ; si elle a n colonnes, le produit AI n vaut A . et donc, si A est carr´ ee ` a n lignes et n colonnes, on a I n A = AI n = A .
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Matrice carr´ ee inversible : exemple Prenons la matrice de la rotation d’angle a , A := cos a - sin a sin a cos a , et celle de la rotation d’angle - a , B := cos a sin a - sin a cos a . On a AB = cos 2 a + sin 2 a cos a sin a - sin a cos a sin a cos a - sin a cos a cos 2 a + sin 2 a = I et pareil pour BA .
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Matrice carr´ ee inversible : d´ efinition Proposition Si le produit de deux matrices carr´ ees A et B de mˆ eme taille vaut I alors elles commutent : BA = AB = I . efinition On dit qu’une matrice carr´ ee A est inversible s’il existe une matrice carr´ ee de mˆ eme taille B erifiant AB = I et BA = I (une seule des deux ´ egalit´ es suffit). On dit alors que B est un inverse de A . En r´ ealit´ e A ne peut avoir qu’un seul inverse ; on dit alors que c’est l’inverse de A , et on le note A - 1 .
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Matrice carr´ ee inversible : exemple Exemple La matrice cos a - sin a sin a cos a est inversible et son inverse est cos a sin a - sin a cos a .
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Applications r´ eciproques efinition Soit f : I J une application entre deux ensembles (par exemple deux intervalles), et g : J I une application dans l’autre sens. On dit que g est la r´ eciproque de f si pour tout x dans I et tout y dans J , on a y = f ( x ) ssi x = g ( y ) . Exemple La fonction ln :]0 , + [ R est la r´ eciproque de l’exponentielle exp : R ]0 , + [. Exo 3 De quelle application la fonction racine carr´ ee est-elle la eciproque ?
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Inverse et r´ eciproque, mˆ eme combat Proposition Deux matrices carr´ ees A et B de mˆ eme taille n sont inverses l’une de l’autre ssi les applications lin´ eaires associ´ ees sont r´ eciproques.
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  • Fall '19
  • Nombre, Matrice, produit matriciel, Mq,r, Mp,r

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