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2 min f e entre as arestas que apontam para s este

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2. min f (e) entre as arestas que “apontam” para s . Este valor é maior que zero já que, por definição, c (e) - f (e) 0 no caso 1 e f (e) 0 no caso 2. Um exemplo real é: 4/3 5/5 3/2 3/3 7/3 a 4/2 b 7/7 s t 4/3 6/5 1/1 6/3 5/5 c onde existe uma seqüência aumentante s - a - b - c - t: 7/3 4/2 4/3 6/3 s t a b c d O mínimo das arestas t é min (4, 2, 3) = 2 O mínimo das arestas s é 3. Então o fluxo pode ser aumentado de 2 nesta SA: 4/3 5/5 3/2 3/3 7/5 a 4/4 b 7/7 s t 4/1 6/5 1/1 6/5 5/5 c Observe que nenhum fluxo fora da SA é alterado. 47
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Teorema : Um fluxo f é máximo se e somente se ele não admite nenhuma seqüência aumentante. 11.1 Exercícios: 69 Maximize o fluxo do grafo abaixo. 4/3 1/1 s 8/2 t 3/3 1/1 3/1 4/4 fluxo máximo: 6 70 Encontre o fluxo máximo do grafo abaixo utilizando o teorema do corte. 2 5 3 7 5 1 6 2 4 71 Em uma rede, prove que a quantidade de fluxo que sai de s é a mesma que chega em t. 72 Utilize o algoritmo de encontrar o fluxo máximo em uma rede para resolver o problema de encontrar um emparelhamento máximo. Dica: acrescente dois vértices, fonte e sumidouro. 48
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12 Mais Aplicações Práticas de Teoria dos Grafos 12.1 Data-Flow Em linguagens data-flow, qualquer instrução pode ser executada desde que os valores que ela usa estejam disponíveis. Por exemplo, a) a = 2*b + c ; pode ser executado tão logo b e c sejam inicializados. b) if a b then pode ser executado tão logo a e b sejam inicializados. Dado um procedimento procedure P (a, b : integer) var c, d, e : integer; begin d = c*a; e = d + 1; c = a + b; if a c then writeln (e); endif end podemos montar um grafo de dependências entre as instruções: c = a + b d = c * a if a c e = d + 1 true false writeln (e) end Uma instrução pode ser executada se e somente se todas as que apontam para ela já o foram. Observe que podemos colocar as instruções no procedimento em qualquer ordem. 49
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Os caminhos do grafo que são independentes entre si podem ser executados em paralelo, como d = c*a e = d + 1 e if a c Esta propriedade pode ser usada para compilar programas escritos em uma linguagem seqüencial (ex.: FORTRAN) para um computador paralelo. Os caminhos independentes seriam executados por diferentes processadores. As ordenações topológicas do grafo descrito acima fornecem as possíveis execuções seqüenciais do programa. Lembre-se de que podem existir (em geral existem) diversas ordenações topológicas (OT) para um mesmo grafo. Dentre estas OT, o compilador pode selecionar uma que seja mais fácil de otimizar. Por exemplo, suponha que diversas instruções que utilizam a variável i estejam espalhadas por um procedimento: I k i : = 1; I e a : = 2 * i + j; I m b : = sqrt (i) + sqr (i); Poderia haver uma OT tal que as instruções I k , I e e I m aparecessem juntas: … I k I e I m Deste modo o compilador poderia colocar i em um registrador, o que aumentaria a velocidade de execução do programa. Se as instruções I k , I e , I m estiverem espalhadas
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What students are saying

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