Entonces 11 vii r puesto que t es lineal es tav tahy

Info icon This preview shows pages 22–25. Sign up to view the full content.

View Full Document Right Arrow Icon
Entonces 11 vII < r. Puesto que T¿ es lineal es Ta(v) = Ta(hy) = hTa(y). Por 10 tanto (8.10) nos da (8.11) fea + hy) - fea) = T( ) + Ihlllyll E( ) h a y h a, v . Ya que [u] ~ O cuando h ~ O Y ya que Ihl/h = -1-1, el segundo miembro de (8.11) tiende al límite L(y) cuando h ~ O. Por consiguiente el primer miembro tiene el mismo límite. Esto demuestra (8.8). Para deducir (8.9) utilizamos la linealidad de Ts. Si y = (y" ... ,Yn) tene- mos y = 2~=1 Ykek , luego 8.12 Gradiente de un campo escalar La fórmula del teorema 8.5, que expresa i'(«; y) como una combinación lineal de los componentes de y, puede escribirse como un producto escalar, n ['(a; y) = 2 Dd(a)Yk = Vf(a) . y, k=1
Image of page 22

Info icon This preview has intentionally blurred sections. Sign up to view the full version.

View Full Document Right Arrow Icon
Gradiente de un campo escalar 317 donde \1 f(a) es el vector cuyos componentes son las derivadas parciales de f en a, Vf(a) = (DJ(a), ... , Dnf(a». Este es el llamado gradiente de f. El gradiente \1 f es un campo vectorial definido en cada punto a en el que existen las derivadas parciales D1f(a), ... , Dnf(a), También empleamos la notación grad f en lugar de \1 f. El símbolo \1 se lee «nabla». La fórmula de Taylor de primer orden (8.10) puede ahora escribirse en la forma (8.12) f(a + v) = f(a) + Vf(a) . v + 11 e] E(a, v), en donde E(a, v) ~ O cuando 11 vII ~ O. En esta forma se parece a la fórmula de Taylor unidimensional desempeñando el vector gradiente \1 f(a) el papel de la de- rivada f'(a) .. A partir de la fórmula de Taylor podemos deducir fácilmente que la diferen- ciabilidad implica la continuidad. TEOREMA 8.6. Si un campo escalar f es diierenciable en a, entonces f es con- tinua en a. Demostración. De (8.12) resulta If(a + v) - f(a)1 = IVf(a) . v + ~ vii E(a, v)l. Aplicando la desigualdad triangular y la de Cauchy-Schwarz encontramos o::::;; If(a + v) - f(a) I ::::;;IIVf(a)llllvll + IIvIIIE(a, v)l. 7j(a) \ \ \ \ \ \ \ \ \ y FIGURA 8.5 Relación geométrica de la derivada direccional con el vector gradiente.
Image of page 23
318 Cálculo diferencial en campos escalares y vectoriales Esto demuestra que f(a + v) - fea) cuando I1 vII - O, así que f es continua ena. Cuando Y es un vector unitario la derivada direccional I'(a; y) tiene una sen- cilla relación geométrica con el vector gradiente. Supongamos queVf(a) :¡I= O Y designemos con () el ángulo formado por Vf(a) e y. Tenemos entonces I'(a;y) = Vf(a)' y = IIVf(a)/IIIY/l cos e = 11 Vf(a) 11 cos e. Esto nos dice que la derivada direccional es el componente del vector gradiente en la dirección del y. La figura 8.5 muestra los vectores Vf(a) e y aplicados al punto a. La derivada alcanza el valor máximo cuando cos (J = 1, esto es, cuando y tiene la misma dirección que Vf(a). Además, este máximo es igual a la longi- tud del vector gradiente. Cuando V fea) es ortogonal a y, la derivada direccional f'(a;y)es O. En el espacio de dos dimensiones se escribe con frecuencia ~'j( ) _ af(x, y) . + af(x, y) . v x, y - ax 1 ay J. En tres dimensiones la fórmula correspondiente es ~'j( ) _ af(x, y, z) . + af(x, y, z) . + af(x, y, z) k v x, y, z - ax 1 ay J az . 8.13 Condición suficiente de diferenciabilidad Si f es diferenciable en a, existen todas las derivadas parciales D¡f(a), ... , Dnf(a).
Image of page 24

Info icon This preview has intentionally blurred sections. Sign up to view the full version.

View Full Document Right Arrow Icon
Image of page 25
This is the end of the preview. Sign up to access the rest of the document.

{[ snackBarMessage ]}

What students are saying

  • Left Quote Icon

    As a current student on this bumpy collegiate pathway, I stumbled upon Course Hero, where I can find study resources for nearly all my courses, get online help from tutors 24/7, and even share my old projects, papers, and lecture notes with other students.

    Student Picture

    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    I cannot even describe how much Course Hero helped me this summer. It’s truly become something I can always rely on and help me. In the end, I was not only able to survive summer classes, but I was able to thrive thanks to Course Hero.

    Student Picture

    Dana University of Pennsylvania ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    The ability to access any university’s resources through Course Hero proved invaluable in my case. I was behind on Tulane coursework and actually used UCLA’s materials to help me move forward and get everything together on time.

    Student Picture

    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern