6 si x y oo pongamos fx y x yx y hallar el límite de

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6. Si (x, y) ~ (O,O), pongamos f(x, y) = (x' - y')/(x' + y'). Hallar el límite de f(x,y) cuan- do (x, y) ~ (O,O) a lo largo de la recta y = mx. ¿Es posible definir f(O, O) de modo que f sea continua en (O,O)? 7. Sea f(x, y) = O si y:$ O o si y ~ x' Y sea f(x, y) = 1 si O < y < x'. Demostrar que f(x, y) ~ O cuando (x, y) ~ (O,O) a lo largo de cualquier recta por el origen. Hallar una curva que pase por el origen a lo largo de la cual (salvo en el origen) f(x, y) tiene el valor constante 1. ¿Es f continua en el origen? 8. Si f(x, y) = [sen (x' + y')]/(x' + y') cuando (x, y) ~ (O,O) ¿cómo debe definirse f(O, O) para que sea f continua en el origen? 9. Sea f un campo escalar continuo en un punto a interior a un conjunto S de R". Si f(a) ~ O, demostrar que existe una n-bola B(a) en la que f tiene el mismo signo que f(a). 8.6 La derivada de Un campo escalar respecto a un vector Esta sección introduce las derivadas de campos escalares. En la sección 8.18 se discuten las derivadas de campos vectoriales. Sea f un campo escalar definido en un conjunto S de R" , y sea a un punto interior a S. Deseamos estudiar la variación del campo cuando nos desplazamos desde a a un punto próximo. Por ejemplo, supongamos que f(a) es la tempera- tura en un punto a en una habitación con calefacción y con una ventana abierta. Si nos movemos hacia la ventana la temperatura decrecerá, pero si nos acercamos al radiador de la calefacción aumentará. En general, la variación del campo de- penderá de la dirección en la que nos movamos a partir de a. Supongamos que se representa esa dirección mediante otro vector y. Esto es, supongamos que nos movemos desde a hacia otro punto a + y, siguiendo el segmento de recta que une a con a + y. Cada punto de este segmento tiene la forma a + hy, donde h es un número real. En la figura 8.3 se muestra un ejem- plo. La distancia desde a hasta a + hy es IlhY11 = Ihl Ilyll . FIGURA 8.3 El punto a'+ hy está en la recta paralela a a que pasa por y. FIGURA 8.4 El punto a + hy está en la n-bola B(a; r) si IIhyll < r.
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La derivada de un campo escalar respecto a un vector 309 Puesto que a es un punto interior de S, existe una n-bola B(a; r) situada en- teramente en S. Si h se elige de manera que Ihl IIYII < r, el segmento desde a hasta a + hy estará en S. (Ver figura 8.4) Mantengamos h # O pero 10 bastante pequeño para que a + hy E S Y construyamos el cociente de diferencias (8.3) fea + hy) - fea) h El numerador de este cociente pone de manifiesto el cambio de la función cuando nos desplazamos desde a a a + hy . El cociente se denomina a su vez el prome- dio de variación de f en el segmento de recta que une a con a + hy . Nos inte- resa el comportamiento de ese cociente cuando h ~O. Esto nos lleva a la siguiente definición. DEFINICiÓN DE LA DERIVADA DE UN CAMPO ESCALAR RESPECTO A UN VECTOR. Dado un campo escalar f: S -+ R , donde S S;; R". Sean a un punto interior a S e y un punto arbitrario de R", La derivada de f en a con respecto a y se repre- senta con el símbolo f' (a; y) y se define (8.4) f '( ) li fea + hy) - fea) a;y = 1m h-O h cuando tal límite existe.
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