Bài toán 1rmo2002 10 gi s dãy ả ử a n đ c đ

This preview shows page 21 - 26 out of 115 pages.

Bài toán 1(RMO2002 [10]) Gi s dãy ả ử ( a n ) đ c đ nh nghĩa nh sau: ượ ư a 0 = a 1 = 1 và a n + 1 = 14 a n a n 1 v i n 1. Ch ng minh r ng 2 a n 1 là m t s chính ph ng. ươ * Phân tích: T yêu c u c a bài toán là 2 a n 1 là s chính ph ng t c là: T n ươ t i dãy nguyên ( c n ) sao cho: c 2 + 1 2 a n 1 = c 2 , suy ra n = a n . Bây gi ta đi xác đ nh dãy ( c n ) : T ph ng trình đ c tr ng xác đ nh ươ ư a n : 2 14 + 1 = 0(1) ta gi i ra đ c hai ượ nghi m: 1 , 2 = 7 ± 48. Nh n xét th y r ng: 1 , 2 = 7 ± 48 = . 2 ± 3 Σ 2 . Mà 2 ± 3 l i là hai nghi m c a ph ng ươ trình đ c tr ng: ư 2 4 + 1 = 0(2) suy ra h th c truy h i xác đ nh nghi m t ng quát c a (2): c n = 4 c n 1 c n 2 , n 2. L i gi i V i n ∈ N đ nh nghĩa c n nh sau: ư c 0 = − 1; c 1 = 1 và c n = 4 c n 1 c n 2 , n 2. Khi đó: c = . 1 + 3 Σ . 2 + 3 Σn + . 1 3 Σ . 2 3 Σn v i n ∈ N Bình ph ng 2 ươ v ế trên ta có : c 2 + 1 . 3 Σ . Σ n . 3 Σ . Σ n Ta ch c n ch ng minh : c 2 + 1 2 = a n đi u này ta d dàng làm đ c b ng cách tìm ượ n 2 n 2 2 n = 1 7 + 3 + 1 7 4 3 . 2 2 2 2 2 2 n
Image of page 21

Subscribe to view the full document.

a n theo tính ch t đã nêu trên. Bài toán 2(Shortlist 1988 [5]) . Cho dãy nguyên a n đ nh nghĩa nh sau: ư
Image of page 22
a 0 = 0 , a 1 = 1 , a n + 2 = 2 a n + 1 + a n , n 0. Ch ng minh r ng 2 k | a n <=> 2 k | n L i gi i S d ng tính ch t trên ta tìm đ c: ượ 1 a n = 2 2 ( 1 + 2 ) n 1 2 2 ( 1 2 ) n Khi đó ta có 2 cách: Cách 1: Ch ng minh b ng quy n p a n l khi n l và xây d ng dãy b n v i b 0 = b 1 = 2 và b n = 2 b n 1 + b n 2 . Ch ng minh b n chia h t ế cho 2 nh ng không chia h t ư ế cho 4 v i m i n b ng quy n p. T công th c t ng minh c a ườ a n b n a 2 n = a n b n . Cách 2: Ch ng minh quy n p a 2 n + 1 = ( a n ) 2 + ( a n + 1 ) 2 a 2 n = 2 a n ( a n + a n 1 ) . Bài toán 3(RMO1999 [10]) Ch ng minh r ng v i s nguyên d ng ươ n b t kỳ thì : n 2 k 2 n + 1 2 2 n 2 k 3 k là t ng c a 2 bình ph ng ươ đúng. k = 0 L i gi i Đ t = 1 + 3 , = 1 3 và T n = 1 ( 2 n + 1 2 2 + ) . Ta có :  = − 2 , 2 = 2 2 + 3 và = 2 3. Áp d ng khai tri n đ i v i nh th c ( 1 + 2 3 ) n ( 1 3 ) n , n ta tìm đ c: ượ Tn = 2 k 2 n + 1 3 k là m t s nguyên v i m i n . k = 0 2 n 1 2 n 1 Áp d ng khai tri n nh th c v i ( 2 + 3 ) + ( 2 3 ) + , ta có : 2 2 n + 1 2 2 n + 1 S n = ( 2 ) + ( 2 ) 4 2 n + C
Image of page 23

Subscribe to view the full document.

4 n + 2 + 4 n + 2 = 2 2 n + 3 4 n + 2 + 2 (  ) 2 n + 1 + 4 n + 2 1 = 2 2 n + 3 + 2 ( 2 n + 1 + 2 n + 1 ) 2 1 = 2 2 n + 3 + 2
Image of page 24
2 1 2 2 n + 1 + 2 .
Image of page 25

Subscribe to view the full document.

Image of page 26
  • Fall '19

What students are saying

  • Left Quote Icon

    As a current student on this bumpy collegiate pathway, I stumbled upon Course Hero, where I can find study resources for nearly all my courses, get online help from tutors 24/7, and even share my old projects, papers, and lecture notes with other students.

    Student Picture

    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    I cannot even describe how much Course Hero helped me this summer. It’s truly become something I can always rely on and help me. In the end, I was not only able to survive summer classes, but I was able to thrive thanks to Course Hero.

    Student Picture

    Dana University of Pennsylvania ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    The ability to access any university’s resources through Course Hero proved invaluable in my case. I was behind on Tulane coursework and actually used UCLA’s materials to help me move forward and get everything together on time.

    Student Picture

    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern

Ask Expert Tutors You can ask 0 bonus questions You can ask 0 questions (0 expire soon) You can ask 0 questions (will expire )
Answers in as fast as 15 minutes