a Visa att man kan definiera en tensor vars kartesiska komponenter M ij

A visa att man kan definiera en tensor vars

This preview shows page 28 - 32 out of 46 pages.

a) Visa att man kan definiera en tensor vars kartesiska komponenter M ij uppfyller ekvationen φ = M ij m 1 i m 2 j . b) Best¨am tensorns egenv¨arden och egenvektorer. Uppgift 1.31 Kraften F = e v × B som verkar p˚ a en laddad partikel i ett magnetf¨alt B utg¨or en vektorv¨ard funktion av partikelns hastighet v . a) Visa att man kan associera en tensor av andra ordningen med denna funktion. b) Visa att denna tensor har tv˚ a imagin¨ara egenv¨arden och ett egenv¨arde = 0 . Best¨am egenvektorn som svarar mot det senare. Uppgift 1.32 I ett omr˚ ade finns elektriska laddningar med laddningst¨atheten ρ ( r ) . Den elektriska kraften p˚ a volymselementet dV ¨ar ρ ( r ) E ( r ) dV,
Image of page 28
1.15. UPPGIFTER 27 d¨ar E ( r ) ¨ar den elektriska f¨altstyrkan. Det g¨aller att ∇ · E = 1 ǫ 0 ρ E = −∇ φ , d¨ar φ ¨ar den elektriska potentialen. Visa att den totala kraften p˚ a en delvolym V kan skrivas F = e i contintegraldisplay S T ik n k dS, d¨ar T ik = D i E k 1 2 D j E j δ ik , D = ǫ 0 E ¨ar den elektriska fl¨odest¨atheten och S ¨ar randytan till V . Uppgift 1.33 Anv¨and tensormetoder f¨or att skriva integraldisplay V dV [ A ( ∇ · A ) A × ( ∇ × A )] som en ytintegral ¨ over den yta S som omsluter V . Anv¨and sedan resultatet p˚ a a) ett station¨art elektriskt f¨alt genom att s¨atta A = E d¨ar E uppfyller braceleftbigg ∇ × E = 0 ∇ · E = ρ ( r ) ǫ 0 b) och sedan p˚ a ett station¨art magnetiskt f¨alt genom att s¨atta A = B d¨ar B uppfyller braceleftbigg ∇ · B = 0 ∇ × B = μ 0 i ( r ) , med ρ som laddningst¨atheten och i som str¨omt¨atheten.
Image of page 29
Bilaga B L ¨ osningar B.1 osningar till uppgifter i kapitel 1 Uppgift 1.1 a) Det g¨ aller att aa T = 1 , d¨ ar 1 ¨ ar enhetsmatrisen, samt att det( a ) = 1. S˚ aledes ¨ ar a en rotation. Q.E.D. b) Transformationsegenskapen T ik = a ij T jℓ a kℓ ger matrisformeln ( T ik ) = ( a ij )( T jℓ )( a kℓ ) T . Genom att utf¨ ora matrismultiplikationen i h¨ ogerledet erh˚ alls ( T ik ) = 0 0 0 0 2 0 0 0 2 . Uppgift 1.2 a) Tensorn A ij ¨ ar en tensor av andra ordningen och dess kom- ponenter transformeras d¨ arf¨ or enligt A ij = a ir a js A rs . Eftersom den enda nollskilda komponenten i K ¨ ar A 11 , s˚ a erh˚ alls A ij = a i 1 a j 1 . Transformationskoefficienterna ges av ( a ij ) = cos α sin α 0 sin α cos α 0 0 0 1 . Ur detta erh˚ alls a 11 = cos α , a 21 = sin α samt a 31 = 0. Komponenterna A ij ges arf¨ or av ( A ij ) = cos 2 α cos α sin α 0 cos α sin α sin 2 α 0 0 0 0 . 93
Image of page 30
94 BILAGA B. L ¨ OSNINGAR b) Genom att anv¨ anda = e i i erh˚ alls ∇ · A ) = i Φ A i = Φ i A i + A i i Φ = Φ ∇ · A + A · ∇ Φ . Q.E.D. Uppgift 1.3 Transformationskoefficienterna ges av ( a ij ) = cos α sin α 0 sin α cos α 0 0 0 1 . Genom att utnyttja att den enda nollskilda komponenten A ik i koordinatsys- temet K ¨ ar A 11 = 1 erh˚ alls A ik = a i 1 a j 1 . De nollskilda komponenterna i ko- ordinatsystemet K blir s˚ aledes A 11 = cos 2 α , A 22 = sin 2 α samt A 12 = A 21 = cos α sin α .
Image of page 31
Image of page 32

You've reached the end of your free preview.

Want to read all 46 pages?

  • Fall '13
  • ∇ ×, A ×

  • Left Quote Icon

    Student Picture

  • Left Quote Icon

    Student Picture

  • Left Quote Icon

    Student Picture

Stuck? We have tutors online 24/7 who can help you get unstuck.
A+ icon
Ask Expert Tutors You can ask You can ask You can ask (will expire )
Answers in as fast as 15 minutes