Exercice 35 résoudre pour n n léquation z n z

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Exercice 35 – Résoudre, pour n N , l’équation z n = z . Exercice 36 – Montrer que pour tout n N , 3+4i 5 n’est pas une racine n -ième de 1 . Exercice 37 – Soit n N , et P n =( X +1) n ( X 1) n . 1. Factoriser P n dans C [ X ] . 2. En déduire que : p N , p productdisplay k =1 tan 2 p +1 = radicalbig 2 p +1 . 3
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Exercice 38 – Soit n N et α R . Calculer n summationdisplay k =0 parenleftbigg n k parenrightbigg sin( ) . Exercice 39 – Calculer n 1 summationdisplay k =0 cos( kx ) cos k ( x ) . Exercice 40 – Soit n N et ω =e 2i π n . Soit Z = n 1 summationdisplay k =0 ω k 2 . Calculer | Z | 2 . Exercice 41 – Calculer n 1 summationdisplay k =1 k sin parenleftbigg 2 n parenrightbigg . Exercice 42 – Calculer integraldisplay π 0 sin 2 m t cos(2 mt ) d t . Exercice 43 – En factorisant de deux manières différentes X 5 1 , calculer cos 2 π 5 et cos 4 π 5 , puis cos π 5 . Exercice 44 – En exprimant cos(3 θ ) et cos(4 θ ) en fonction de cos( θ ) , montrer que cos ( 2 π 7 ) n’est pas rationnel. Exercice 45 Polynômes de Tchebychev de première espèce On définit les polynômes de Tchebychev par la relation de récurrence suivante : braceleftBigg T 0 =1; T 1 = X ; T n +1 =2 XT n T n 1 pour tout n greaterorequalslant 2 . 1. Justifier que pour tout n N , T n est un polynôme, et déterminer son degré. 2. Montrer que pour tout θ R , et tout n N , T n (cos( θ )) =cos( ) . 3. En déduire pour tout n N , une expression explicite de T n (cos( θ )) comme un polynôme en cos( θ ) , puis une expression du polynôme T n sous forme d’une somme. Exercice 46 Polynômes de Tchebychev de seconde espèce Soit U n la suite de polynômes définie par : U 0 =1 , U 1 =2 X et U n +2 =2 XU n +1 U n . 1. Montrer que pour tout z C \ { 0 , 1 , 1 } , U n parenleftbigg 1 2 parenleftbigg z + 1 z parenrightbiggparenrightbigg = z n +1 1 z n +1 z 1 z . 2. En déduire U n (cos θ ) , pour tout θ R \ π 2 · Z . Cas où θ π 2 mod π ? 3. En déduire une expression de sin(7 θ ) en fonction de sin( θ ) , pour tout θ R . Exercice 47 1. Démontrer que, pour tout x R et tout p N , sin((2 p +1) x )= p summationdisplay =0 ( 1) parenleftbigg 2 p +1 2 +1 parenrightbigg sin 2 +1 ( x )(1 sin 2 x ) p . Expliciter cette formule pour p =1 et p =2 . 2. Soit, pour tout t [ 1 , 1] , ϕ ( t )=3 t 4 t 3 . (a) Montrer que pour tout t [ 1 , 1] , ϕ ( t ) [ 1 , 1] . (b) Établir que, pour tout couple ( t,t ) [ 1 , 1] 2 , | ϕ ( t ) ϕ ( t ) | lessorequalslant 9 | t t | . 3. On définit la suite ( f n ) n N * de fonctions numériques par : x R , f 1 ( x )= x et n N , x R , f n +1 ( x ) =3 f n parenleftBig x 3 parenrightBig 4 parenleftBig f n parenleftBig x 3 parenrightBigparenrightBig 3 . 4
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(a) Montrer que f n est une fonction polynomiale, déterminer son degré. (b) Montrer que pour tout n N , et pour tout x [ 1 , 1] , | f n ( x ) sin( x ) | lessorequalslant | x | 3 2 · 3 n . 4. En considérant la fonction ψ : x mapsto→ 5 x 20 x 3 +16 x 5 , et en s’inspirant de la construction ci-dessus, définir à l’aide d’une relation de récurrence une suite de fonctions polynomiales ( g n ) n N * telle que : n N , x [ 1 , 1] , | g n ( x ) sin( x ) | = | x | 3 6 · 5 n 1 .
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  • triangle, Rectangle, nombre complexe, Cercle, Mathématiques, Racine d'un nombre

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