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Quando x é uma extremidade do intervalo isto é x a

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Quando x é uma extremidade do intervalo, isto é, x = a ± R , qualquer coisa pode acontecer: A série pode convergir em uma ou ambas as extremidades. Pode divergir em ambas as extremidades. SÉRIE DE POTÊNCIAS
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Então, no caso (iii), existem quatro possibilidades para o intervalo de convergência: ( a R , a + R ) ( a R , a + R ] [ a R , a + R ) [ a R , a + R ] SÉRIE DE POTÊNCIAS divergência para convergência para R a x < - | | R a x - | |
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Resumimos aqui, o raio e o intervalo de convergência para cada um dos exemplos já vistos. SÉRIE DE POTÊNCIAS
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Em geral, o Teste da Razão (ou algumas vezes o Teste da Raiz) deve ser usado para determinar o raio de convergência R . Os Testes da Razão e da Raiz sempre falham quando x é uma extremidade do intervalo de convergência. Assim, as extremidades devem ser estudadas com outros testes. SÉRIE DE POTÊNCIAS
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Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série 0 ( 3) 1 n n n x n = - + SÉRIE DE POTÊNCIAS Exemplo 4
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Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série 1 0 ( 2) 3 n n n n x + = + SÉRIE DE POTÊNCIAS Exemplo 5
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REPRESENTAÇÃO DE FUNÇÕES COMO SÉRIE DE POTÊNCIAS
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FUNÇÕES COMO SÉRIE DE POTÊNCIAS Veremos agora como representar certos tipos de funções como somas de séries de potências por: manipulação de séries geométricas. derivação ou integração de tais séries.
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FUNÇÕES COMO SÉRIE DE POTÊNCIAS Pergunta: Porquê queremos expressar uma função conhecida como uma soma infinita de termos?
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FUNÇÕES COMO SÉRIE DE POTÊNCIAS Essa estratégia é útil para: Integrar funções que não têm primitivas elementares. Resolução de Equações Diferenciais. Aproximar funções por polinômios.
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Cientistas fazem isso para simplificar expressões que eles utilizam. Cientistas que trabalham com computadores fazem isso para representar as funções em calculadoras e computadores. FUNÇÕES COMO SÉRIE DE POTÊNCIAS
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Vamos começar com uma equação que vimos antes: Equação 1 2 3 0 1 1 ... 1 1 n n x x x x x x = = + + + + = < - FUNÇÕES COMO SÉRIE DE POTÊNCIAS
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Encontramos essa equação primeiro observando que ela é uma série geométrica com a = 1 e r = x . FUNÇÕES COMO SÉRIE DE POTÊNCIAS
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Mas agora, nosso ponto de vista é diferente. Vamos nos referir à Equação 1 como uma expressão da função f ( x ) = 1/(1 x ) como uma soma de uma série de potências. FUNÇÕES COMO SÉRIE DE POTÊNCIAS
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Uma ilustração geométrica da Equação 1 é mostrada na Figura abaixo. FUNÇÕES COMO SÉRIE DE POTÊNCIAS
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Como a soma de uma série é o limite da sequência somas parciais, temos onde s n ( x ) = 1 + x + x 2 + … + x n é a n -ésima soma parcial. 1 lim ( ) 1 n n s x x →∞ = - FUNÇÕES COMO SÉRIE DE POTÊNCIAS
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que, à medida que n aumenta, s n ( x ) se torna uma aproximação cada vez melhor de f ( x ) para –1 < x < 1. FUNÇÕES COMO SÉRIE DE POTÊNCIAS
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