Tranformaciones afines y fractales En los \u00faltimos a\u00f1os ha surgido un \u00e1rea nueva

Tranformaciones afines y fractales en los últimos

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Tranformaciones afines y fractales En los últimos años ha surgido un área nueva en las matemáticas, llamada geometría fractal. Aunque esta geometría tiene sus raíces en varias contribuciones importantes como las de Cantor, Sierpinski, von Koch, Peano y otros matemáticos del s iglo XIX, no fue sino hasta finales de la década de los 60’s que llego a ser un campo nuevo. Esto se debio al trabajo precursor de Benoit Mandelbrot de la IBM Corporation, y a la disponibilidad de computadora rapidas. La palabra Fractal, introducida por Mandelbrot, se usa para describir figuras con infinitas repeticiones d ela misma forma. A continuación describiremos 2 fractales, el triángulo de Sierpinski y un fractal que se ve como un abeto (es un análogo del helecho por M. Barnsley). M. Barnsley observó que pueden obtenerse muchos objetos “fractaloides” graficando iteraciones de ciertas transformaciones afines.
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Página 36 de 39 1. El Triángulo de sierpinski Sean f 1 , f 2 , f 3 las 3 transformaciones afines de R 2 a R 2 expresadas por El triángulo de Sierpinski puede generarse como sigue: comenzaremos con un triángulo, por ejemplo, aquel cuyos vértices están en (0,0), (1,0) y elegimos un punto dentro de él. Y lo graficamos, digamos, en el punto ( ) . A continuación seleccionamos al azar una de las transformaciones f 1 , f 2 0 f 3 , digamos f 1 , y se calcula y grafica f i ( ) . Partiremos de este nuevo punto y repetiremos el proceso tanto como lo deseemos. La imagen que resulta es un “objeto fractal” que parece un triángulo con agujeros triangulares (si se grafican bastantes puntos).
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Página 37 de 39 2. Un abeto parecido al helecho de Barnsley Sean f 1 , f 2 , f 3 ,f 4 las 4 transformaciones afines de R2 a R2 representadas por El fractal parecido a un abeto puede generarse como sigue: se elige y grafica cualquier punto, por ejemplo (5,5). A continuación se selecciona aleatoriamente una de las funciones f 1 , f 2 , f 3 o f 4 , digamos f i y se calcula y grafica f i (5,5). Haciendo que éste sea un nuevo punto de partida, se repite el proceso. La imagen que resulta parece una parte de un abeto.
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Página 38 de 39 A continuación describiremos el procedimiento que generó ambos fractales. Este procedimiento produce una imagen fractal para algunos conjuntos de transformaciones afines. Algoritmo:
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