Tranformaciones afines y fractales
En los últimos años ha surgido un área nueva en las matemáticas, llamada
geometría fractal. Aunque esta geometría tiene sus raíces en varias contribuciones
importantes como las de Cantor, Sierpinski, von Koch, Peano y otros matemáticos
del s
iglo XIX, no fue sino hasta finales de la década de los 60’s que llego a ser un
campo nuevo. Esto se debio al trabajo precursor de Benoit Mandelbrot de la IBM
Corporation, y a la disponibilidad de computadora rapidas. La palabra Fractal,
introducida por Mandelbrot, se usa para describir figuras con infinitas repeticiones
d ela misma forma. A continuación describiremos 2 fractales, el triángulo de
Sierpinski y un fractal que se ve como un abeto (es un análogo del helecho por M.
Barnsley).
M. Barnsley observó
que pueden obtenerse muchos objetos “fractaloides”
graficando iteraciones de ciertas transformaciones afines.
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1. El Triángulo de sierpinski
Sean
f
1
, f
2
, f
3
las 3 transformaciones afines de R
2
a R
2
expresadas por
El triángulo de Sierpinski puede generarse como sigue: comenzaremos con un
triángulo, por ejemplo, aquel cuyos vértices están en (0,0), (1,0) y elegimos un
punto dentro de él.
Y lo graficamos, digamos, en el punto (
)
. A continuación seleccionamos al azar
una de las transformaciones
f
1
,
f
2
0
f
3
, digamos
f
1
, y se calcula y grafica
f
i
(
)
.
Partiremos de este nuevo punto y repetiremos el proceso tanto como lo
deseemos. La imagen que resulta es un “objeto fractal” que parece un triángulo
con agujeros triangulares (si se grafican bastantes puntos).
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2. Un abeto parecido al helecho de Barnsley
Sean
f
1
,
f
2
,
f
3
,f
4
las 4 transformaciones afines de R2 a R2 representadas por
El fractal parecido a un abeto puede generarse como sigue: se elige y grafica
cualquier punto, por ejemplo (5,5). A continuación se selecciona aleatoriamente
una de las funciones
f
1
,
f
2
,
f
3
o f
4
, digamos
f
i
y se calcula y grafica
f
i
(5,5). Haciendo
que éste sea un nuevo punto de partida, se repite el proceso. La imagen que
resulta parece una parte de un abeto.
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A continuación describiremos el procedimiento que generó ambos fractales. Este
procedimiento
produce
una
imagen
fractal
para
algunos
conjuntos
de
transformaciones afines.
Algoritmo:
