Teorema 98 teorema de acotación para campos

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TEOREMA 9.8. TEOREMA DE ACOTACIÓN PARA CAMPOS ESCALARES CONTINUOS. Si f es un campo escalar continuo en cada punto de un intervalo cerrado [a, b] de R", entonces f es acotada en [a, b]. Esto es, existe un número e;;;::: o tal que If(x)l~ e para todo x de [a, b]. Demostración. Razonemos por reducción al absurdo, utilizando el método de la bisección sucesiva. La figura 9.11 representa el método para el caso n = 2. Supongamos que f no esté acotada en [a, b]. Pongamos ](1) = [a, b] e ]~1) = [a k , b k ], así que Dividamos en dos partes iguales cada intervalo unidimensional ]~1) dos subintervalos, la mitad izquierda ]~~l y la mitad derecha ]~~~ . mas ahora todos los productos cartesianos posibles de la forma formando Considere- I I I I I I I 1 1 I , I I ¡ .... /(J)~ I I 1 I 1----/(2)------1 I I I J~I) .: I FIGURA 9.11 Representación en el plano del método de la bisección sucesiva.
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390 Aplicaciones de cálculo diferencial en donde cada = 1 ó 2. Existen exactamente 2" productos de este tipo. Cada uno de ellos es un subintervalo n-dimensional de [a, h], y su reunión es igual a [a, h]. La función f no está acotada en uno por lo menos de esos subintervalos (si estuviera acotada en cada uno de ellos también estaría en [a, h]). Designemos por ](2) uno de ellos que expresamos del modo siguiente /(2) = /(2) X ••• X /(2) In, en donde cada /~2) es uno de los subintervalos unidimensionales de I~¡) , de longitud Hb k - a k ). Seguidamente hacemos con 1(2) lo mismo que con ](l), bisecamos cada com- ponente unidimensional 1~21 y llegamos a un intervalo n-dimensional ](3) en el que f no está acotada. Prosiguiendo este proceso, obtenemos un conjunto infinito de intervalos n-dimensionales 1(1), /(2), ..• , tales que /(m+l) s; Iv»; en cada uno de los cuales f no está acotada. El intervalo m-ésimo ](m) puede ex- presarse en la forma /(m) = /(m) X ... X /(m) In' Como quiera que cada intervalo unidimensional I~ m) se obtiene mediante m - 1 bisecciones sucesivas de [ak, b k], si escribimos I~m) = [ak m ), bk m )] tenemos (9.42) b (m) _ a(m) = b k - a k k 1 2 k k 2 m - l ' para =" ... , n . Para cada k fija, el extremo superior de todos los extremos izquierdos ak"') (m = 1, 2, ... ) debe ser igual al extremo inferior de todos los extremos derechos bk m ) (m = 1, 2, ... ), y designamos su valor común con ti. El punto t = (tI' ... , In) está contenido en [a, h]. En virtud de la continuidad de f en t existe una n-bola B( t ; r) en la que tenemos I/(x) - I(t)/ =:;; 1 para todo x de B(t; r) n [a, h]. Esta desigualdad implica I/(x) I < 1 + I/(t) 1 para todo x deB(t; r) n fa, b], con lo que f no está acotada en el conjunto Btt; r) n [a, h]. Pero este conjunto
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Teorema de la continuidad uniforme para campos escalares continuos 391 contiene todo el intervalo [(m) cuando m es lo bastante grande para que cada uno de los n números (9.42) sea menor que r / Vii. Por consiguiente para ese valor de m la función f no está acotada en [(m), lo que está en contradicción con el hecho de que f está acotada en r».
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