37 utilizando uma matriz de adjacências faça um

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37 Utilizando uma matriz de adjacências, faça um algoritmo que resolva o problema da celebridade. 21
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5 Árvores Definição : uma árvore é um grafo conectado que não contém um ciclo. Exemplos: Definição : uma floresta é um conjunto de árvores. Árvores possuem várias propriedades interessantes. Elas são dadas abaixo e admitimos que o número de vértices é maior ou igual a 2. Proposição 1 : Há um único caminho ligando dois vértices quaisquer de um grafo. Prova : Suponha que haja dois caminhos distintos ligando vértices v e w no grafo. Caminhos distintos possuem pelo menos um vértice não comum a ambos. v 1 w 1 • • v w Se isto acontecer, haverá um par de vértices v 1 e w 1 que é ligado por dois caminhos que não possuem vértices em comum (exceto v 1 e w 1 ) e portanto haverá um ciclo, o que contradiz a hipótese de que o grafo é uma árvore. Proposição 2 : Existe pelo menos um vértice que é ligado a apenas uma aresta. Prova : Provaremos por redução ao absurdo. Tentaremos provar que a negação da proposição é verdadeira, chegando a um absurdo. A negação é "Todos os vértices são ligados a mais de uma aresta". Tomando um vértice v qualquer, construímos um caminho começando em v. Entramos em um dado vértice e saímos por outro. Isto é sempre possível já que cada vértice é ligado a pelo menos duas arestas. Como o número de vértices é finito, em algum momento estaremos em um vértice w e a única opção será ir para um vértice z que já está no caminho. Neste ponto temos um ciclo formado pelo caminho de z a w (subconjunto do caminho de v a w) e pela aresta (w, z). Como árvores não possuem ciclos, a hipótese está errada, o que prova a proposição. z v w Proposição 3 : A remoção de qualquer aresta da árvore cria exatamente duas novas árvores. 22
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Prova : Tentaremos provar a proposição contrária, que é "Pode-se remover uma aresta de uma árvore e ela continuar conectada". Note que a remoção de uma aresta poderia criar no máximo duas novas árvores em um grafo qualquer, nunca três. Assumiremos isto como óbvio. Suponha que podemos remover aresta (v, w) da árvore e ela continue conectada. Então existe um caminho entre v e w que não envolve aresta (v, w), o que significa que existe um ciclo no grafo original formado por este caminho e (v, w). w v (v, w) Assim, quando uma aresta (v, w) for removida, o grafo se desconectará formando uma árvore que contém v e outra que contém w. Proposição 4 : Uma árvore com n vértices possui n - 1 arestas. Prova : Usaremos a própria proposição como HI. O caso base é n = 2 e é trivial. Removendo uma aresta da árvore temos duas árvores G 1 e G 2 de acordo com a proposição 3. Assumindo que G 1 possui k vértices e G 2 m vértices, pela HI temos que G 1 e G 2 possuem k - 1 e m - 1 arestas, respectivamente. Logo, o grafo original possui (k - 1) + (m - 1) + 1 = (k + m) - 1 arestas. Como o número de vértices da árvore original é k + m, a hipótese está provada.
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