Por definic ao a intensidade e a energia que

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Por defini¸c˜ ao, a intensidade ´ e a energia que atravessa a superf´ ıcie, na dire¸c˜ ao θ , por unidade de ´area, por unidade de tempo, por unidade de ˆ angulo s´olido. O fluxo ´ e a energia, por unidade de ´area, por unidade de tempo, em todas as dire¸c˜ oes: F ( r ) H ( r ) = Z I cos θdw (23.145) A densidade de energia, ou energia por unidade de volume, pode ser derivada notando-se que, se F for a quantidade de energia cruzando a ´area dA , em uma dire¸c˜ ao θ , por unidade de tempo, em um segundo, a radia¸c˜ ao F ocupar´a um volume c cm 3 . Ent˜ ao, a energia por unidade de volume, ser´a dada por: u ( r ) E ( r ) = FdAd c cos θdAd = 1 c Z Idw. (23.146) 336
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Sabemos que a energia cruzando a ´area dA ´ e I cos θdAdw dt . O n´umero de f´otons ´ e dado pela energia total dividida pela energia de cada f´oton, . Como o momentum de cada f´oton ´ e dado por p = hν/c , a press˜ao transferida para a ´area normal a dire¸c˜ ao cos θdA , ser´a dada por P R ( r ) = I cos θdA dw dt c cos θdA dA = 1 c Z I cos 2 θdw. (23.147) para dA e dt unit´ arios. Integrando (23.144) sobre o elemento de ˆangulo s´olido dw , obtemos: ∂r Z I cos θdw - 1 r Z ∂I ∂θ sen θ dw + Z Idw - 4 π Z dw = 0 . Usando-se a defini¸c˜ ao (23.145) e (23.146) e notando que o segundo termo pode ser escrito como: Z dw ∂I ∂θ sen θ = Z 2 π 0 Z π 0 sen θ dθ ∂I ∂θ sen θ = 2 π I sen 2 θ π 0 - 2 Z π 0 I sen θ cos θdθ = - 2 Z π 0 I cos θ (2 π sen θ dθ ) = - 2 Z I cos θdw = - 2 H, obtemos: dH dr + 2 r H + cKρE - = 0 . (23.148) Outra rela¸c˜ ao ´ e obtida multiplicando-se (23.144) por cos θ e integrando sobre dw , obtemos: ∂r Z I cos 2 θdw - 1 r Z ∂I ∂θ sen θ cos θdw + Z I cos θdw - 4 π Z cos θdw = 0 . A integral no primeiro termo ´ e igual a cP R ( r ), e a do terceiro termo ´ e igual a H ( r ). O ´ultimo termo ´ e nulo, pois dw = 2 π sen θ dθ , e: Z cos θdw = 2 π Z π 0 cos θ sen θ dθ = π sen 2 θ π 0 = 0 . 337
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No segundo termo, fazendo-se uma integra¸c˜ ao por partes, com dv = ∂I ∂θ e u = sen 2 θ cos θ : Z ∂I ∂θ sen θ cos θ 2 π sen θ dθ = 2 π Z ∂I ∂θ sen 2 θ cos θdθ = 2 πI sen 2 θ cos θ π 0 - Z π 0 I (2 cos 2 θ sen θ - sen 3 θ ) 2 π dθ = - Z π 0 I (2 sen θ - 3 sen 3 θ ) 2 π dθ = - c 2 E ( r ) + 3 Z π o I sen 2 θ sen θ 2 π dθ = - c 2 E ( r ) + 3 Z π o I (1 - cos 2 θ ) dw = - c 2 E ( r ) + 3 cE ( r ) - 3 Z π o Icos 2 θdw = c E ( r ) - 3 cP R ( r ) Logo: dP R dr + 1 r (3 P R - E ) + c H = 0 . (23.149) Obtivemos somente duas equa¸c˜ oes com trˆ es fun¸c˜ oes, E , H e P R . Essa insuficiˆ encia quase sempre ´ e encontrada quando se substitui uma equa¸c˜ ao diferencial parcial, como a equa¸c˜ ao (23.144), por um conjunto de equa¸c˜ oes diferenciais ordin´arias, com as equa¸c˜ oes (23.148) e (23.149). Para resolver o sistema, encontraremos uma rela¸c˜ ao adicional entre os momentos, usando a quase-isotropia do campo de radia¸c˜ ao no interior estelar. Representemos o campo de radia¸c˜ ao em qualquer ponto da estrela por uma s´ erie: I = I 0 + I 1 cos θ + I 2 cos 2 θ + . . . = I 0 + X n =1 I n cos n θ, (23.150) e determinemos a taxa de convergˆ encia dessa s´ erie introduzindo-a na equa¸c˜ ao de equil´ ıbrio radiativo (23.144): ∂I ∂r cos θ - ∂I ∂θ sen θ r + KρI - 1 4 π = 0 .
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