Solving for 6 and 6 à we obtain 2 time series

Solving for 6
¿
and 6
À
, we obtain

2
TIME SERIES ANALYSIS
6
¿
=
−1
À
1 + 1 À + 1 7
, 6
À
=
1¶1 + 1
À
¹
1 + 1 À + 1 7
.
So, the desired best linear estimate is
−
1
À
1 + 1 À + 1 7
°
¿
+
1¶1 + 1
À
¹
1 + 1 À + 1 7
°
À
.
(b) Write the best linear estimate as ³
¿
°
7
+ ³
À
°
8
. Then, ³
¿
and ³
À
are determined by
Ä
½¶0¹ ½¶1¹
½¶1¹ ½¶0¹
Å "
³
¿
³
À
# = Ä
½¶1¹
½¶2¹
Å.
Similar to the arguments in part (a), we obtain
³
¿
=
1¶1 + 1
À
¹
1 + 1 À + 1 7
, ³
À
=
−1
À
1 + 1 À + 1 7
.
So, the desired best linear estimate is
1¶1 + 1
À
¹
1 + 1 À + 1 7
°
7
−
1
À
1 + 1 À + 1 7
°
8
.
(c) Write the best linear estimate as 6
À
are

3
TIME SERIES ANALYSIS
The MSE for the estimate in part (b) is the same:
0
À
¶1 + 1
À
¹¶1 + 1
7
¹
1 + 1 À + 1 7
,
On the other hand, the MSE for the estimate in part (c) is smaller: