1 justifier que f nx peut se prolonger sur r en une

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1. Justifier que f n,x peut se prolonger sur R en une fonction continue et 2 π -périodique ˜ f n,x . On pose, pour tout α R , I ( n, x, α ) = integraldisplay α + π α ˜ f n,x ( t ) d t . 2. Montrer que pour tout ( n, x, α ) N × R 2 , on a I ( n, x, α )= I ( n, 0 , π ) . 3. On note, pour tout n N , I n = I n, 0 , π . (a) Exprimer I n à l’aide de integraldisplay π π sin( nu )sin( u ) sin 2 ( u 2 ) d u (b) En que I n +1 I n =0 (c) En déduire la valeur de I ( n, x, α ) , pour tout ( n, x, α ) N × R 2 . La limite en 0 (et par périodicité aux 2 ) s’obtient par limites remarquables. I ne dépend pas de son dernier paramètre (intégraltion d’une fonction périodique). En déduire par cdv t = t + x x que I ne dépend pas non plus de sa deuxième variable. Intégrer par parties en primitivant 1 sin 2 ( t 2 ) (cela donne de la cotangente). On obtient l’égalité avec l’intégrale de l’énoncé, à un facteur 1 16 π près. I n +1 I n s’écrit comme l’intégrale d’une fonction impaire. Réponse : 1. Exercice 15 (Intégrale de Dirichlet) Montrer que l’intégrale de Dirichlet integraldisplay + 0 sin( x ) x d x est convergente, c’est-à-dire que a mapsto→ integraldisplay 1 a sin( x ) x d x et b mapsto→ integraldisplay b 1 sin( x ) x d x admettent une limite lorsque a 0 + et b + . Exercice 16 (Lemme de Riemann-Lebesgue pour les fonctions de classe C 1 ) Soit f ∈ C 1 ([ a, b ]) . Montrer que lim n + integraldisplay b a sin( nt ) f ( t ) d t =0 et lim n + integraldisplay b a cos( nt ) f ( t ) d t =0 Exercice 17 (Développement en série de l’exponentielle) Soit ( u n ) n N * la suite définie par : n N , u n = 1 n ! integraldisplay 1 0 (1 t ) n e t d t. 1. Trouver, pour tout n N , une relation entre u n et u n +1 . En déduire que : n N , u n =e n summationdisplay p =0 1 p ! . 2. En déduire que + summationdisplay p =0 1 p ! =e . Exercice 18 – Soit, pour tout x R + \ { 1 } : f ( x )= integraldisplay x 2 x 1 ln t d t . 1. Existence, dérivabilité, dérivée, variations de f . 2. Calculer integraldisplay x 2 x 1 t ln t d t . En déduire un encadrement, puis les limites en 0 , 1 et + de f . 3. On prolonge f par continuité en 0 et 1 . Montrer que la fonction obtenue g est de classe C 1 sur R + .
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  • Fall '19
  • Mathématiques, Fonction trigonométrique, Continuité, Lycée Louis-le-Grand

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