Nessas condic oes obteremos uma relac ao do tipo lei

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Nessas condi¸c˜ oes, obteremos uma rela¸c˜ ao do tipo lei de potˆ encia entre a idade e a luminosidade da estrela, como encontrada por Leon Mestel em 1952: t esfriar L - 5 / 7 Seja E a energia total armazenada pela an˜a branca; a luminosidade ser´a 465
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dada pela raz˜ao com que essa energia ´ e irradiada: L ( t ) = - dE ( t ) dt (23.418) e define a taxa de esfriamento da an˜a branca. Essa terminologia foi in- troduzida pelo reconhecimento que a fonte da energia que ´ e irradiada pela atmosfera da estrela ´ e a energia t´ ermica da estrela ( E th ). Como a maior parte da an˜a branca ´ e isot´ ermica, a primeira aproxima¸c˜ ao ´ e: L ( t ) = - dE th dT c dT c dt (23.419) Nessa aproxima¸c˜ ao, os pequenos ajustes da densidade interna devido ao es- friamento s˜ao desprezados, j´a que a energia gravitacional liberada ´ e comple- tamente absorvida pelos el´ etrons degenerados, que s˜ao for¸cados para n´ ıveis de energia mais altos. Se processos nucleares e de emiss˜ao de neutrinos s˜ao desprezados, bem como a libera¸c˜ ao de energia gravitacional residual ( ∂ρ/∂t = 0), a lumino- sidade da an˜a branca ´ e diretamente proporcional `a taxa de decr´ escimo da temperatura da estrela. Para um g´as de el´ etrons degenerados, mas n˜ao-relativ´ ısticos, a contri- bui¸c˜ ao eletrˆonica para o calor espec´ ıfico [se¸c˜ ao (23.9.1)], por unidade de massa, derivada por Subrahmanyan Chandrasekhar (1910-1995) (1939, An Introduction to the Study of Stellar Structure, University of Chicago Press, p. 394), ´ e: c e V = 3 2 k AH π 2 3 Z kT E F (23.420) onde H ´ e a unidade de massa atˆomica ( H = 1 , 66 × 10 - 24 g), Z ´ e a carga m´ edia dos ´ ıons e A ´ e o n´umero atˆomico m´ edio. Como o g´as est´a altamente dege- nerado, kT ´ e muito menor do que a energia de Fermi dos el´ etrons [equa¸c˜ ao (23.5)], E F = (3 π 2 ) 2 / 3 2 ¯ h 2 m e ρ μ e H 2 / 3 (23.421) e podemos desprezar c e V em compara¸c˜ ao com o calor espec´ ıfico dos ´ ıons. Fisicamente, os el´ etrons n˜ao contribuem para o reservat´ orio de energia por- que part´ ıculas degeneradas j´a ocupam seu estado de energia mais baixo e, portanto, n˜ao podem esfriar. Para um g´as (de ´ ıons) ideal, c ion V = 3 2 k AH (23.422) 466
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A equa¸c˜ ao b´asica de evolu¸c˜ ao estelar para a conserva¸c˜ ao de energia ´ e: L = Z M 0 ε - T ∂s ∂t dM r (23.423) O termo T ∂s ∂t representa a troca de calor (perda) por unidade de massa, e ε ´ e a taxa de gera¸c˜ ao ou perda de energia por unidade de massa devido a rea¸c˜ oes nucleares ou emiss˜ao de neutrinos, que desprezamos. A alta degenerescˆ encia do n´ucleo da an˜a branca produz uma alta efici- ˆ encia de condu¸c˜ ao t´ ermica pelos el´ etrons, tornando o n´ucleo praticamente isot´ ermico. Como T ∂s ∂t = c V ∂T ∂t - ∂P ∂T fl fl fl fl ρ ∂ρ ∂t a equa¸c˜ ao (23.423) pode ser escrita como: L ≈ - 3 2 kM AH ∂T c ∂t (23.424) onde T c ´ e a temperatura do n´ucleo. Para calcular T c , precisamos levar em conta a transferˆ encia de energia pelo envelope fino e n˜ao-degenerado. Se o envelope est´a em equil´ ıbrio radi- ativo, e pudermos utilizar a lei de opacidade de Kramers: K = K o ρ T - 3 , 5 (23.425) levando-se conta as equa¸c˜ oes b´asicas: dM r dr = 4 πr 2 ρ, continuidade da massa dP dr = - ρ GM r r 2 , equil´ ıbrio hidrost´atico dT dr = - 3 4 ac T 3 L r
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