= Ancho de un cuarto de la masa de prueba
Cuando únicamente se considera el desplazamiento debido a inflexión y torsión,
La energía total de esfuerzo U de una estructura lineal se calcula de la siguiente
manera
∗
:
∑
∫
=
=
N
i
L
i
i
i
d
EI
M
U
1
0
2
2
)
(
ξ
ξ
(55)
Donde:
U
= Energia total de esfuerzo.
E
= Modulo de Young del material (polisilicio).
i
L
= Longitud de la i-esima viga en el resorte.
)
(
ξ
i
M
= Momento de inflexión en la extensión de la viga.
ξ
= distancia desde el extremo de la viga.
∗
J. M. Gere and S.P. Timoshenko, Mechanics of Materials, Capitulo 7. Wadsworth, Belmont, 2nd
ed., 1984.
120
El momento de inflexión
i
M
se calcula a partir de los momentos aplicados en el
extremo del resorte.
A partir del segundo teorema de
Castigliano
, la derivada parcial de la energía de
esfuerzo U, con respecto a una fuerza dada
j
F
es igual al desplazamiento en el
punto donde se aplica la fuerza,
j
δ
.
j
j
F
U
∂
∂
=
δ
(56)
De igual forma el desplazamiento angular
j
θ
que se origina de aplicar un
momento
j
M
esta dado por la expresión:
j
j
M
U
∂
∂
=
θ
(57)
Usando el método descrito anteriormente, se deriva la rigidez del resorte en forma
de U.
En la Figura 79 se observa un diagrama esquemático de la suspensión en
forma de U; en la dirección
x
se aplica una fuerza
Fx
en el extremo libre
A.
Partiendo de las consideraciones de simetría se obtienen las condiciones de
frontera
y
δ
=0
y
θ
δ
=0. Resolviendo las ecuaciones usando el método de las
energías, la rigidez del resorte para la dirección
x
en el caso simplificado
b
b
b
L
L
L
=
=
2
1
, y
b
b
b
W
W
W
=
=
2
1
es:
)
6
(
12
2
t
b
t
b
x
L
L
L
EI
k
+
=
α
α
(58)
Donde:
E
= Modulo de elasticidad (Young) del polisilicio.
b
L
= Longitud de la viga
121
t
L
= Longitud de la armadura
b
W
= Ancho de la viga
t
W
= Ancho de la armadura
b
I
= Momento de inercia de la viga rectangular
α
=
3
)
/
(
b
t
W
W
A partir de la ecuación (58) se deduce que
k
X
se hace mas pequeño a medida que
se incrementan
b
L
o
t
L
. De igual manera cuando se aplica en la dirección
y
una
fuerza
Fy
, se tienen las condiciones de frontera
x
δ
=0
y
θ
δ
=0; La rigidez del
resorte para la dirección
y
en el caso simplificado
b
b
b
L
L
L
=
=
2
1
, y
b
b
b
W
W
W
=
=
2
1
es:
)
(
)
2
(
3
3
t
b
b
t
b
b
y
L
L
L
L
L
EI
k
+
+
=
α
α
(59)
El calculo de la constante torsional de resorte en la dirección
θ
, es decir k
θ
(
rotación con respecto al eje z), es diferente del usado para calcular
k
X
y
k
Y
. En
este caso se aplican las condiciones de frontera
x
δ
=0
y
y
δ
=0
en el centro de la
masa de prueba, exactamente en el punto
O
. La expresión completa es muy
extensa, para el caso simplificado
con
b
b
b
L
L
L
=
=
2
1
,
b
t
W
W
=
y
t
b
L
L
>>
, el valor
de
k
θ
es:
[
]
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
6
)
15
36
36
(
12
12
[
t
b
b
p
p
b
t
b
t
p
b
p
b
L
L
L
W
W
L
L
L
L
L
L
L
EI
K
+
+
+
+
=
θ
(60)
Modelo para la masa efectiva.
El efecto de la masa en el resorte, respecto de la
frecuencia de resonancia es tomado en cuenta para obtener un modelo para la
122
masa efectiva, que se calcula mediante la normalización de la energía cinética
total del resorte con la máxima velocidad de la masa de prueba
V
max
se tiene la
ecuación
∗
:
ξ
ξ
d
v
v
L
m
m
N
i
L
max
i
i
i
ef
i
2
0
)
(
∑
∫
=
(61)
Donde
mi
y
Li
son la masa y la longitud de la i-esima viga en el resorte. La masa
