Ancho de un cuarto de la masa de prueba Cuando \u00fanicamente se considera el

Ancho de un cuarto de la masa de prueba cuando

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= Ancho de un cuarto de la masa de prueba Cuando únicamente se considera el desplazamiento debido a inflexión y torsión, La energía total de esfuerzo U de una estructura lineal se calcula de la siguiente manera : = = N i L i i i d EI M U 1 0 2 2 ) ( ξ ξ (55) Donde: U = Energia total de esfuerzo. E = Modulo de Young del material (polisilicio). i L = Longitud de la i-esima viga en el resorte. ) ( ξ i M = Momento de inflexión en la extensión de la viga. ξ = distancia desde el extremo de la viga. J. M. Gere and S.P. Timoshenko, Mechanics of Materials, Capitulo 7. Wadsworth, Belmont, 2nd ed., 1984.
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120 El momento de inflexión i M se calcula a partir de los momentos aplicados en el extremo del resorte. A partir del segundo teorema de Castigliano , la derivada parcial de la energía de esfuerzo U, con respecto a una fuerza dada j F es igual al desplazamiento en el punto donde se aplica la fuerza, j δ . j j F U = δ (56) De igual forma el desplazamiento angular j θ que se origina de aplicar un momento j M esta dado por la expresión: j j M U = θ (57) Usando el método descrito anteriormente, se deriva la rigidez del resorte en forma de U. En la Figura 79 se observa un diagrama esquemático de la suspensión en forma de U; en la dirección x se aplica una fuerza Fx en el extremo libre A. Partiendo de las consideraciones de simetría se obtienen las condiciones de frontera y δ =0 y θ δ =0. Resolviendo las ecuaciones usando el método de las energías, la rigidez del resorte para la dirección x en el caso simplificado b b b L L L = = 2 1 , y b b b W W W = = 2 1 es: ) 6 ( 12 2 t b t b x L L L EI k + = α α (58) Donde: E = Modulo de elasticidad (Young) del polisilicio. b L = Longitud de la viga
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121 t L = Longitud de la armadura b W = Ancho de la viga t W = Ancho de la armadura b I = Momento de inercia de la viga rectangular α = 3 ) / ( b t W W A partir de la ecuación (58) se deduce que k X se hace mas pequeño a medida que se incrementan b L o t L . De igual manera cuando se aplica en la dirección y una fuerza Fy , se tienen las condiciones de frontera x δ =0 y θ δ =0; La rigidez del resorte para la dirección y en el caso simplificado b b b L L L = = 2 1 , y b b b W W W = = 2 1 es: ) ( ) 2 ( 3 3 t b b t b b y L L L L L EI k + + = α α (59) El calculo de la constante torsional de resorte en la dirección θ , es decir k θ ( rotación con respecto al eje z), es diferente del usado para calcular k X y k Y . En este caso se aplican las condiciones de frontera x δ =0 y y δ =0 en el centro de la masa de prueba, exactamente en el punto O . La expresión completa es muy extensa, para el caso simplificado con b b b L L L = = 2 1 , b t W W = y t b L L >> , el valor de k θ es: [ ] 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 ) 15 36 36 ( 12 12 [ t b b p p b t b t p b p b L L L W W L L L L L L L EI K + + + + = θ (60) Modelo para la masa efectiva. El efecto de la masa en el resorte, respecto de la frecuencia de resonancia es tomado en cuenta para obtener un modelo para la
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122 masa efectiva, que se calcula mediante la normalización de la energía cinética total del resorte con la máxima velocidad de la masa de prueba V max se tiene la ecuación : ξ ξ d v v L m m N i L max i i i ef i 2 0 ) ( = (61) Donde mi y Li son la masa y la longitud de la i-esima viga en el resorte. La masa
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