2 1 a n n b 2 j 1 1 b 2 1 b 2 j 1 1 b 2 1 b 2 n 1 v y

This preview shows page 69 - 72 out of 115 pages.

2 ) · · · ( 1 + a n ) n b 2 j 1 ( 1 + b 2 ) · · · ( 1 + b 2 j ) = 1 ( 1 + b 2 ) · · · ( 1 + b 2 n ) < 1 . V y bài toán đã đ c ch ng minh. ượ Bài toán 22( VMO1997 [4]) Tìm s th c l n nh t đ t n t i dãy vô h n ể ồ a 1 , a 2 , · · · các s nguyên d ng ươ sao cho tính ch t sau đ c th a mãn: ượ (a) V i m i n ∈ N, a n > 1997 n (b)V i m i n 2 , a không v t ượ quá c ướ chung l n nh t c a t p { a i + a j : i + j = n } . Giá tr l n nh t có th c a ị ớ 1 L i gi i 2 Tr c ướ h t, gi s ế ả ử ( a ) n n = 1 là m t dãy sao cho th a mãn đi u ki n (a) và (b). j = j = n
Image of page 69

Subscribe to view the full document.

Ta có k t qu sau: ế V i m i > 0, t n t i vô h n giá tr n ∈ N mà : a 2 n a 2 Th t v y, V i > 0, và gi s t n t i ả ử ồ N ∈ N sao cho m i n > N , a 2 n < a 2 . Logarit hóa hai v và chia cho 2 ế n ta đ c : ượ loga 2 n 2 loga n < . nên a 2 k n 2 n 2 n . 2 Σ k loga n đi u này không th x y ra v i a n 1997 n nên loga n log 1997 , ∀ n . K t qu đ c ế ượ ch ng minh. Gi s ả ử n là m t trong nh ng giá tr cho b i k t qu trên, sao cho: ế a 2 a 2 n . Khi đó a ( 2 ) a UCLN { a + a | i + j = 2 n } ≤ 2 a . n n 2 k n < n − > 0 khi k − > 2 2 n n i j n n 2
Image of page 70
nên 2 a 1 −( 2 ) 1997 n ( 1 −( 2 ) ) ; b i vì đi u này đúng v i vô h n giá tr n ∈ N nên ta ph i có 1 . T > 0 bé tùy ý, n n ta ế 1 . 2 Ta s đ a ra m t ư dãy th a mãn đi u ki n (a) và (b) v i = 1 . Ký hi u F n là ph n 2 t th n trong dãy Fibonacci. Cho t là s nguyên ch n sao cho F 2 tn > 1997 n , ∀ n ∈ N và đ nh nghĩa dãy ( a n ) b i: a n = 3 F 2 tn . Khi đó đi u ki n (a) rõ ràng đ c ượ th a mãn. Ta c n ch ra F tn | F 2 ti + F 2 t j khi i + j = n , đ UCLN { a i + a j | i + j = n } ≥ 3 F tn . Th t v y: Do v y F 2 ti = F t ( i + j ) F t ( i j )+ 1 + F t ( i + j )− 1 F t ( i j ) F 2 t j = F t ( i + j ) F t ( j i )+ 1 + F t ( i + j )+ 1 F t ( j 1 ) F 2 ti + F 2 t j = 2 F t ( i + j ) F t ( i j )+ 1 + . F t ( i + j )+ 1 F t ( i + j )− 1 Σ F t ( j i ) = F t ( i + j ) . 2 F t ( i j )+ 1 F t ( i j ) Σ Ta có : a n = 3 F 2 tn = 3 F tn ( F tn + 1 + F tn 1 ) ≤ 9 F 2 ≤ ( UCLN { a i + a j | i + j = n }) 2 , 1 nên a 2 UCLN a a i j n và dãy a th a mãn đi u ki n bài toán v i n = 1 . 2 { i + j | + = } ( n ) n = 1 2.4. S d ng l ng giác gi i các bài toán ượ v dãy. Nh n xét: Nhi u dãy s đ i s v i công th c ph c t p có th tr thành đ n ơ gi n nh phép th l ng giác. Đ i ế ượ v i ph ng pháp ươ này ta c n n m v ng các công th c l ng ượ giác, tùy theo t ng dãy s đ i s cho trong đ bài mà ta liên t ng ưở và s d ng công th c l ng giác m t cách h p ượ lý.
Image of page 71

Subscribe to view the full document.

Image of page 72
  • Fall '19

What students are saying

  • Left Quote Icon

    As a current student on this bumpy collegiate pathway, I stumbled upon Course Hero, where I can find study resources for nearly all my courses, get online help from tutors 24/7, and even share my old projects, papers, and lecture notes with other students.

    Student Picture

    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    I cannot even describe how much Course Hero helped me this summer. It’s truly become something I can always rely on and help me. In the end, I was not only able to survive summer classes, but I was able to thrive thanks to Course Hero.

    Student Picture

    Dana University of Pennsylvania ‘17, Course Hero Intern

  • Left Quote Icon

    The ability to access any university’s resources through Course Hero proved invaluable in my case. I was behind on Tulane coursework and actually used UCLA’s materials to help me move forward and get everything together on time.

    Student Picture

    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern

Ask Expert Tutors You can ask 0 bonus questions You can ask 0 questions (0 expire soon) You can ask 0 questions (will expire )
Answers in as fast as 15 minutes