Cónicas 269 Determina la ecuación de una elipse en la que el eje mayor mide el

Cónicas 269 determina la ecuación de una elipse en

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Lugares geométricos. Cónicas
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269 Determina la ecuación de una elipse en la que el eje mayor mide el doble que el menor y uno de los focos se halla en ( 7, 0). c = 7 2 a = 2 · 2 b a = 2 b Como a 2 = b 2 + c 2 4 b 2 = b 2 + 49 b 2 = Por tanto, la ecuación de la elipse es: Calcula la intersección de la elipse 4 x 2 + 9 y 2 = 72 y la recta . Sustituyendo, tenemos que: Los puntos de intersección son: y Q (3, 2) Una elipse es tangente a los lados del rectángulo definido por las rectas y = 8, y = − 8, x = 10 y x = − 10. Halla su ecuación y las coordenadas de cinco puntos. Cinco puntos de la elipse son: A (10, 0), A ' ( 10, 0), B (0, 8), B ' (0, 8) y C 5 4 3 , ( ) a b x y = = + = 10 8 100 64 1 2 2 Y 2 2 X 038 P 0 2 2 , ( ) 4 6 2 2 2 1 72 4 72 24 2 2 1 4 2 1 2 2 2 x x x x + ( ) ( ) = + ( ) + ( ) = + + + = ( ) 2 2 2 2 2 2 72 4 48 24 2 8 8 2 4 0 2 2 x x x x x x x x 2 2 3 2 2 0 3 0 0 3 ( ) = = = = x x x x x 4 9 72 2 2 1 3 6 2 0 6 2 2 2 1 2 2 x y x y y + = ( ) + = = ( ) x 3 2 2 1 3 6 2 0 ( ) + = x y 037 x y x y 2 2 2 2 196 3 49 3 1 3 12 196 + = + = 49 3 7 3 3 14 3 3 b a = = 036 6 SOLUCIONARIO
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270 Decide la posición relativa de las rectas respecto de la elipse . a) 2 x + 3 y 5 = 0 b) 3 x + 2 y 20 = 0 c) 3 x + 10 y 15 Sustituyendo, tenemos que: Δ = 1.263.600 > 0 La ecuación tiene dos soluciones; por tanto, la elipse y la recta son secantes. Sustituyendo, tenemos que: Δ = − 500.400 < 0 La ecuación no tiene solución; por tanto, la elipse y la recta son exteriores. Sustituyendo, tenemos que: Δ = 0 La ecuación tiene una solución; por tanto, la elipse y la recta son tangentes. Escribe la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a (0, 12) y a (0, 12) es 26. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x y x y x y + + + + = + + 0 12 0 12 26 12 2 2 2 2 2 2 = + + + = + + 26 12 12 26 12 5 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y ( ) ( ) ( ) 2 12 144 24 676 144 24 52 2 2 2 2 2 x y y y y y x + + + = + + ( ) + + + + = + y y x y y y x y 2 2 2 2 144 24 52 144 24 676 48 13 2 2 2 144 24 169 12 169 169 24 336 4 056 + = + + y y x y . . y y y x y x = + + = 28 561 144 4 056 169 25 4 225 2 2 2 2 2 . . . 5 169 1 2 + = y 040 9 25 90 5 9 100 225 36 90 5 2 2 2 x x x x + + = + 1.125 1.125 x x x x + = + = 9 900 45 90 5 225 0 2 2 c) 3 10 15 5 0 9 25 225 15 5 3 1 2 2 x y x y y x + = + = = 0 9 25 9 120 400 4 225 36 225 3 000 2 2 2 2 x x x x x x + + + = + + + . 10 000 900 261 3 000 9 100 0 2 . . . = + + = x x b) + = + = = + 3 2 20 0 9 25 225 3 20 2 2 2 x y x y y x 9 25 25 20 4 9 225 81 625 500 100 2 2 2 2 x x x x x x + + = + + = 2 025 181 500 1 400 0 2 . . x x = a) 2 3 5 0 9 25 225 5 2 3 2 2 x y x y y x + = + = = 5 0 = x y 2 2 25 9 1 + = 039 Lugares geométricos. Cónicas
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271 Determina los focos, los vértices, las asíntotas y las excentricidades de las siguientes hipérbolas. a) d) b) e) 9 x 2 25 y 2 = 900 c) 16 y 2 25 x 2 = 1.600 f ) x 2 2 y 2 = 16 La excentricidad es: La excentricidad es: La excentricidad es: La excentricidad es: La excentricidad es: La excentricidad es: e = = 2 6 4 1,22 Como c a b c F F 2 2 2 2 6 2 6 0 2 6 0 = + = ( ) ( ) , , ' f) x y x y a A A 2 2 2 2 2 16 16 8 1 4 4 0 4 = = = ⎯⎯⎯⎯→ ( , ) ( , ' 0 8 2 2 0 2 2 0 2 2 ) , , b B B = = ( ) ( ) ' e
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