Propri et e cardinalit e soit u l r une fonction

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Propri´ et´ e. (Cardinalit´ e) Soit U : L → R une fonction d’utilit´ e esp´ er´ ee de VNM pour la relation de pr´ ef´ erence followsequal sur L . La fonction tildewide U : L → R est une autre fonction d’utilit´ e esp´ er´ ee de VNM pour followsequal si et seulement si il existe β > 0 et γ R tels que tildewide U ( L ) = βU ( L ) + γ pour tout L ∈ L . Cons´ equences mon´ etaires : Loterie = variable al´ eatoire repr´ esent´ ee par une fonction de r´ epartition F Par exemple, la loterie ` a trois cons´ equences mon´ etaires possibles suivante 1 2 50 e 1 4 20 e 1 4 30 e L a la fonction de r´ epartition F ( x ) = 0 si x < 20 1 / 4 si x [20 , 30) 1 / 2 si x [30 , 50) 1 si x 50
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Th´ eorie des jeux Introduction et th´ eorie de la d´ ecision 35/ x 20 e 30 e 50 e 0 1 4 1 2 1 F a114 a114 a114 36/ Dans ce cadre une loterie (fonction de r´ epartition) F est ´ evalu´ ee par l’agent ` a l’aide d’une fonction d’utilit´ e esp´ er´ ee de VNM ayant la forme U ( F ) = integraldisplay C u ( c ) dF ( c ) = integraldisplay C u ( c ) f ( c ) dc si la densit´ e f existe Remarques. Distinguer la fonction d’ utilit´ e esp´ er´ ee U : L → R efinie sur l’ensemble des loteries, de la fonction u : C R efinie sur des cons´ equences certaines (parfois appel´ ee fonction d’ utilit´ e de Bernoulli ) L’axiomatique de VNM n’impose aucune restriction sur la forme de la fonction u , mais on suppose en g´ en´ erale que u est croissante
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Th´ eorie des jeux Introduction et th´ eorie de la d´ ecision 37/ Exemple de fonction d’utilit´ e dans l’espace des cons´ equences mon´ etaires : c u i 1 2 bracehtipupleftbracehtipdownrightbracehtipdownleftbracehtipupright E ( L ) 3 u i (1) u i (2) u i (3) U i ( L ) = 1 2 u i (1) + 1 2 u i (3) L = (1 / 2 , 1 ; 1 / 2 , 3) 38/ Approximation et crit` ere moyenne/variance Loterie (variable al´ eatoire) ˜ x Approximation de Taylor de la fonction d’utilit´ e (de Bernoulli) u au voisinage de x = E x ) : u ( x ) = u ( x ) + u ( x ) 1! ( x x ) + u ′′ ( x ) 2! ( x x ) 2 + u ′′′ ( x ) 3! ( x x ) 3 + · · · U x ) = E [ u x )] = = u ( x ) + u ′′ ( x ) 2! E [(˜ x x ) 2 ] bracehtipupleft bracehtipdownrightbracehtipdownleft bracehtipupright σ 2 x + u ′′′ ( x ) 3! E [(˜ x x ) 3 ] + · · · l’utilit´ e esp´ er´ ee d’une loterie peut incorporer tous les moments de la distribution
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Th´ eorie des jeux Introduction et th´ eorie de la d´ ecision 39/ Exemples. Fonction d’utilit´ e lin´ eaire u ( x ) = x crit` ere d’esp´ erance math´ ematique U x ) = x Fonction d’utilit´ e quadratique u ( x ) = α + βx + γx 2 crit` ere moyenne/variance (Markowitz, 1952) U x ) = α + β x + γ ( x 2 + σ 2 x ) 40/ Probabilit´ es objectives / subjectives Knight (1921) : “Risk, uncertainty and profit” Risque : il existe des probabilit´ es objectives (lanc´ e de d´ es, d’une pi` ece de monnaie, tirage d’un num´ ero sur une roulette ou dans une urne, . . . ) Incertain : pas de probabilit´ es objectives (r´ esultats d’un match de football ou d’une course de chevaux, ´ evolution d’un prix, occurrence d’une catastrophe naturelle, . . . )
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  • Spring '10
  • breviart
  • Game Theory, von neumann, fonction d’utilit´

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    Kiran Temple University Fox School of Business ‘17, Course Hero Intern

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    Jill Tulane University ‘16, Course Hero Intern