Ejemplo 7 una función de dos variables puede ser

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EJEMPLO 7. Una función de dos variables puede ser continua respecto a cada variable separadamente y en cambio ser discontinua como función de dos variables. Esto lo apreciamos en el ejemplo siguiente: f(x, y) = xy x2 + y2 si (x, y) :¡é (O, O), feO, O) = o. Para los puntos (x, y) del eje x tenemos y = O Y f(x, y) = f(x, O) = O, así que la función tiene el valor constante O en todo el eje x. Por consiguiente, si pone- mos y = O Y consideramos f sólo como función de x, dicha f es continua en x = O. Análogamente, f tiene el valor constante O en todos los puntos del eje y, así que si ponemos x = O Y consideramos f como función sólo de y, f es continua en y = O. No obstante, como función de las dos variables, f no es continua en el ori- gen. En efecto, en cada punto de la recta y = x (excepto en el origen) la función tiene el valor constante 112 ya que f(x, x) = x 2 j(2x 2 ) = 112; puesto que existen puntos en esa recta tan próximos al origen como queramos y ya que feO, O) =1= %, la función no es continua en (O, O). 8.5 Ejercicios Los ejercicios de esta sección se refieren a límites y a la continuidad de campos escalares definidos en subconjuntos del plano. 1. En cada uno de los siguientes ejemplos se define un campo escalar f mediante la ecua- ción dada para todos los puntos (x, y) del plano definidos por la expresión del segundo miembro. Determinar en cada ejemplo el conjunto de puntos (x, y) en los que f es continua. b) [tx, y) = log (x 2 + y2). x 2 d) f(x,y) = tg -. y e) f(x,y) = are tg l. x 1 c) [(x, y) = - cos x 2 y x f) [(x,y) =arc sen /-_ . ...¡x2 + y2
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Ejercicios 307 x + y g) [(x, y) = aretan- I --. -xy i) [(x, y) = x(1/') . x h) [(x, y) = /--. "x2 + y2 j) [(x, y) = are eos .J x/y. 2. Si lim f(x, y) = L, Y si existen los dos límites uni-dimensionales ("'.1/)-(a,b) lim[(x,y) ",-a y lim[(x,y) 1/-b demostrar que lim [lim[(x,y)] = lim [Iim[(x,y)] = L. x-a Y--b y--b x--a Los dos límites de esta igualdad se llaman límites iterados; los ejercicios demuestran que la existencia del límite bidimensional y de los dos límites unidimensionales, implican la existencia e igualdad de los dos limites iterados. (El recíproco no siempre es cierto. En el ejercicio 4 se da un contraejemplo.) 3. Sea f(x, y) = (x - y)/(x + y) si x + y ~ O. Demostrar que lim [Iim[(x,y)] = 1 pero que lim [lim[(x,y)] = -l . ..-o v-O 1/-0 ",-o Utilizar ese resultado y el del ejercicio 2 para deducir que f(x, y) no tiende a un límite cuando (x, y) ~ (O,O). 4. Sea X 2 y 2 [(x y)----- , - X2 y 2 + (x _ y)2 Demostrar que siempre que X 2 y 2 + (x - y)2 -¡l: O. lim [lim[(x,y)] = lim [Iim[(x,y)] = O ",-o 1/-0 1/-0..-0 pero que f(x, y) no tiende a un límite cuando (x, y) ~ (O,O). [Indicación: Examinar f sobre la recta y = x.] Este ejemplo demuestra que el recíproco del ejercicio 2 no siem- pre es cierto. 5. Sea { 1 xsen - [(x,y) = O Y si y ~ O, si y = O. Demostrar que f(x, y) ~ O cuando (x, y) ~ (O,O) pero que lim [Iim ft;x, y)] -¡l: lim [Iim [t», y)]. 11-0 x-o x--o 11-+0
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308 Cálculo diferencial en campos escalares y vectoriales Explicar por qué esto. no contradice el ejercicio 2.
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