Si a a b las derivadas parciales fa i y faj también

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Si a = (a, b) las derivadas parciales f'(a; i) y f'(a;j) también se escriben (a, b) ox y -(a, b), oy respectivamente. En R3 , si a = (a, b, c) las derivadas parciales DI/(a), D 2 f(a), y Daf(a) se expresan poniendo -(a,b,c), ox - (a, b, e), oy y -(a,b,c). oz 8.8 Derivadas parciales de orden superior La derivación parcial origina nuevos campos escalares Dd, , Dnf a partir de un campo escalar dado f. Las derivadas parciales de D1f, , Dnf se llaman derivadas parciales de segundo orden de f. Para funciones de dos variables exis- ten cuatro derivadas parciales de segundo orden, que se escriben así: o"i D1(Dd) = _._, ox oy
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312 Cálculo diferencial en campos escalares y vectoriales Obsérvese que D,(Dd) significa la derivada parcial de Dd respecto a la primera variable. Algunas veces utilizamos la notación Di.¡f para indicar la derivada par- cial D¡(D¡f). Por ejemplo, D"zf = D,(D 2 f). También utilizamos la notación ~ _ .i.(Of) oy ox - oy ox . Ésta puede ser o no igual a la otra derivada parcial mixta, ~ _ .i.(Of) ox ay - ax ay . En la sección 8.23 demostraremos que las dos derivadas parciales mixtas D,(Dzf) y D 2 (DJ) son iguales en un punto si una de ellas es continua en un entorno del punto. También la sección 8.23 contiene un ejemplo en el que D,(D2f) =1=D 2 (D,f) en un punto. 8.9 Ejercicios l. Un campo escalar f está definido en R" mediante la ecuación ((x) = a . x, donde a es un vector constante. Calcular f'(x; y) cualesquiera que sean x e y. 2. a) Resolver el ejercicio 1 cuando f (x) = Ilx11 4 b) Tomar n = 2 en a) y hallar todos los puntos (x, y) para los cuales r (2; + 3j; xi + yi) = 6. c) Tomar n = 3 en a) y hallar todos los puntos (x,y,z) para los cualesf'(; + 2j + 3k; xi + yj + zk) = O. 3. Sea T: Rn~Rnuna transformación lineal dada. Calcular la derivada t'(x;y)para el campo escalar definido en R" mediante la ecuación f(x) = x . T(x). En cada uno de los ejercicios del 4 al 9, calcular todas las derivadas parciales de primer orden del campo escalar dado. En los ejercicios 8 y 9 los campos están definidos en R". 4. f(x,y) = x 2 + y2 sen (xy). 5.f(x,y) = ~X2 + y2. x 6.f(x,y) = /--' (x,y);<!i (0,0). "x2 + y2 x + y 7.f(x,y) =--, x ;<!iy. x - y 8. f(x) = a . x, a fijo. n n 9. f(x) = L L a;;x;x;, i~1 ;=1 a;j =a;i' En cada uno de los ejercicios del 10 al 17, calcular todas las derivadas parciales de primer orden. En los ejercicios 10, 11 Y 12 comprobar que las derivadas parciales mixtas D,(D,f) y D,(D,f) son iguales. 14. f(x, y) = arctan (y/x), (x, y) ;<!i (O, O). 15. f(x, y) = arctan x + y , 1 - xy x ;<!i0. 11. f(x, y) = log (x 2 + y2), 1 12. [I;x ,y) = - cos x 2 , Y xy ;<!i 1 . y ;<!iO. 16. f(x,y) = Xlv"', x> O. 13. f(x,y) = tan (x 2 /y), y;<!iO. 17. f(x,y) = arccos ~x/y, y;<!iO.
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Derivadas direccionales y continuidad 313 18. Sea v(r,t) = tne- r '/ Wl Hallar un valor de la constante n tal que v satisfaga la siguiente ecuación: OV 1 o ( OV) at = ;2 or r 2 or 19. Dada z = u(x, y)e""'+bv y a'ujax ay) = O. Hallar valores de las constantes a y b tales que oz oz ---+z=O. ox oy 20. a) Suponer quef'(x; y)= O para todo x en una cierta n-bolaB(a) y para todo vector y.
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