Exercice 48 irrationalité de 1 π arccos 1 p le but

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Exercice 48 (Irrationalité de 1 π Arccos 1 p ) Le but de l’exercice est de montrer que si cos θ = 1 p , où p est un entier impair au moins égal à 3, alors θ π est irrationnel. Autrement dit Arccos 1 p est incommensurable à π . On raisonne par l’absurde en supposant que θ π = m n , avec m et n premiers entre eux. 1. Déterminer explicitement des polynômes T n et U n tels que : cos( )= T n (cos θ ) et sin( )=sin θ · U n 1 (cos θ ) . 2. Montrer que n = n - 1 2 summationdisplay j =1 ( 1) j +1 parenleftbigg n 2 j +1 parenrightbigg ( p 2 1) j , puis que n est pair et m impair. 3. Montrer que 1= n 4 summationdisplay j =1 ( 1) j +1 parenleftbigg n 2 2 j parenrightbigg ( p 2 1) j . Conclure. Exercice 49 (extrait ENS) Soit p un nombre premier supérieur, p greaterorequalslant 3 , n N , a 1 ,...,a n N , r 1 ,...,r n N \ { 0 , 1 } et F : ( Z /p Z ) n Z /p Z qui à ( x 1 ,...,x n ) associe n i =1 a i x r i . Soit N le nombre de solutions de l’équation F ( x 1 ,...,x n )=0 . Montrer que N = p n 1 + 1 p summationdisplay x ( Z /p Z ) * n productdisplay i =1 summationdisplay y Z /p Z ζ a i xy r i , où ζ =e 2i π p . Exercice 50 – Soit A , B et C trois points d’affixes a , b et c . Montrer que le triangle ABC est équilatéral direct si et seulement si a + jb + j 2 c =0 . Exercice 51 – Soit ABC un triangle équilatéral du plan. On note R 1 , R 2 et R 3 les rotations de centre A , B et C et d’angle π 3 . Exprimer R 3 R 2 R 1 . Exercice 52 – Soit ABCD un carré ; on suppose que C et D ont des coordonnées entières ; montrer qu’il en est de même de A et B . Exercice 53 – Montrer qu’il n’est pas possible que les trois sommets d’un triangle équilatéral, non réduit à un point, aient des coordonnées entières. Exercice 54 – Soient A,B,C,D quatre points du plan, E , F , G , H tels que les triangles ABE , BCF , CDG , DAH soient rectangles isocèles directs en E , F , G , H . Montrer que EG FH et bardbl EG bardbl = bardbl FH bardbl . Exercice 55 1. Soit A , B et C des points du plan complexe d’affixes a , b et c . Montrer que ABC est équilatéral si et seulement si b a c a = c b a b , si et seulement si a 2 + b 2 + c 2 = ab + bc + ca . 2. On considère un triangle ABC , et on construit sur chaque face un n -gône régulier, de centres A (pour le n -gône construit sur le côté BC ), B et C . À quelle condition sur n le triangle A B C est-il équilatéral ? Exercice 56 – Trouver, dans chacune des situations ci-dessous, l’ensemble des points M d’affixe z vérifiant les propriétés suivantes : 5
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1. Les points d’affixes 1+i , z +i et 1+i z sont alignés. 2. Les points d’affixes j , z et jz sont alignés 3. Les points d’affixes z , z 2 et z 3 sont alignés 4. Les points d’affixes z , z 2 et z 3 forment un triangle rectangle 5. 0 est l’orthocentre (l’intersection des hauteurs) du triangle formé par les points d’affixe z , z 2 et z 3 6. Les points d’affixes i , z et i z forment un triangle rectangle isocèle en i 7. Les points d’affixes i , z et i z forment un triangle équilatéral. Exercice 57 (Inégalité de Ptolémée) 1. Montrer que pour tout ( a,b ) ( C ) 2 , vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle a | a | 2 b | b | 2 vextendsingle vextendsingle vextendsingle vextendsingle = | a b | | ab | .
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  • Fall '19
  • triangle, Rectangle, nombre complexe, Cercle, Mathématiques, Racine d'un nombre

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